数值分析之插值与拟合

资 源 简 介

数值分析之插值与拟合

详 情 说 明

在数值分析领域，插值与拟合是两种核心的数据逼近技术，用于通过已知离散数据点构建连续函数模型。虽然两者目标相似，但适用场景和数学原理存在本质差异。

插值方法要求构造的函数曲线必须严格通过所有给定数据点，适用于数据精度高、需要精确复现观测值的场景。常见的插值技术包括拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值，以及更平滑的三次样条插值。多项式插值随着节点增多可能出现龙格现象，此时分段插值或样条函数能更好地控制振荡。

拟合方法则通过最小化误差（如最小二乘法）寻找最优逼近函数，不强制通过每个数据点，适用于含噪声数据或需要揭示整体趋势的情况。线性回归、多项式拟合以及基于指数/对数函数的非线性拟合都属于典型应用。拟合结果的优劣常通过残差平方和或决定系数R²来评估。

实际应用中需权衡：插值能保留数据细节但可能过拟合，拟合具有噪声鲁棒性但会丢失局部特征。在工程预测、信号处理、科学实验数据分析中，二者常结合使用——例如先通过拟合剔除异常点，再对清洗后的数据执行高精度插值。