不动点算法

资 源 简 介

不动点算法

详 情 说 明

不动点算法是一种经典的数值计算方法，用于求解形如x=g(x)的方程。这种算法通过迭代逼近的方式寻找使得函数值等于自变量的点，即不动点。其核心思想可以追溯到著名数学家巴拿赫的不动点定理。

算法的基本流程从初始近似值p0开始，通过不断应用函数g来生成新的近似值序列。每次迭代计算新的近似值pn = g(p_{n-1})，直到满足以下两个条件之一：相邻两次迭代结果的差值小于预设的容差TOL，或者达到最大允许迭代次数NO。

在实现不动点算法时，需要特别注意三个关键参数的选择：初始近似值p0的选取会影响收敛速度，甚至决定算法能否收敛；容差TOL决定了结果的精度要求；最大迭代次数NO则防止算法在无法收敛时进入无限循环。

收敛性分析是不动点算法的重要理论基础。根据巴拿赫不动点定理，如果函数g在某个区间内满足压缩映射条件（即存在常数0 ≤ L < 1使得|g(x)-g(y)| ≤ L|x-y|），那么算法必定收敛且收敛速度与L有关。

该算法在工程计算、物理模拟和经济学模型等领域有广泛应用，特别是在解析解难以求得的情况下，提供了一种有效的数值求解途径。理解不动点算法也为学习更复杂的数值方法，如牛顿迭代法奠定了基础。