Comparison of QR Factorization Algorithms (Matlab script)

资 源 简 介

Comparison of QR Factorization Algorithms (Matlab script)

详 情 说 明

QR分解是数值线性代数中的核心操作，它将矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积。在Matlab中，我们可以通过多种算法实现QR分解，每种算法在精度、速度和内存使用上各有特点。

经典Gram-Schmidt正交化是最直观的方法，但数值稳定性较差，在迭代过程中容易丢失正交性。改进的Gram-Schmidt算法通过调整计算顺序减轻了这个问题。Householder变换则采用反射矩阵进行正交化，具有最优的数值稳定性，尤其适合大规模矩阵。Givens旋转通过平面旋转逐步引入零元素，适合稀疏矩阵或特定结构的矩阵处理。

Matlab内置的qr函数默认使用Householder算法，它在大多数情况下都能提供稳定高效的分解结果。对于特殊需求，比如需要显式Q矩阵时，可以考虑Gram-Schmidt的变体；而在处理带状矩阵时，Givens旋转可能更有优势。

理解这些算法的差异有助于在实际应用中选择合适的工具。例如，机器学习中的特征提取可能需要高精度的Householder方法，而实时系统可能更青睐计算量较小的Gram-Schmidt改进版。