​用Newton插值多项式和三次样条插值多项式

资 源 简 介

​用Newton插值多项式和三次样条插值多项式

详 情 说 明

在数值分析中，Newton插值多项式和三次样条插值多项式是两种常用的函数逼近方法。当处理如f(x)=1/(1+25x^2)这类函数时，这两种方法展现出截然不同的特性。

Newton插值通过构造差分表来建立多项式，具有形式简洁的优点。但随着节点数增加，高阶多项式在区间边界可能出现剧烈振荡，这就是著名的龙格现象。特别是对于f(x)=1/(1+25x^2)这种在边界变化剧烈的函数，Newton插值在远离中心点的区域会产生显著误差。

相比之下，三次样条插值将整个区间划分为若干子区间，在每个子区间上使用独立的三次多项式。这些分段多项式在连接点处保持函数值、一阶和二阶导数连续，从而保证了整体曲线的平滑性。对于f(x)=1/(1+25x^2)，三次样条能有效避免龙格现象，在全局范围内提供更稳定的逼近效果。

实际应用中，Newton插值适合节点较少且分布合理的场景，而三次样条则适用于需要全局平滑逼近的情况。对于f(x)=1/(1+25x^2)这类函数，当插值节点均匀分布时，三次样条通常是更可靠的选择。