MATLAB实现基于Crank-Nicolson方法的变系数抛物型偏微分方程求解器

资 源 简 介

本项目运用Crank-Nicolson隐式差分格式求解一维变系数抛物型偏微分方程，支持参数a的实时动态调整，通过循环实现变系数处理。适用于热传导、扩散等物理过程的数值模拟，具有高精度和稳定性。

详 情 说 明

基于Crank-Nicolson方法的变系数抛物型偏微分方程求解器

项目介绍

本项目实现了一种基于Crank-Nicolson隐式差分格式的数值求解器，专门用于求解一维变系数抛物型偏微分方程：du/dt - a(t) × d²u/dx² = 0。该求解器能够处理随时间变化的扩散系数a(t)，通过稳定的数值算法获得高精度的数值解。

功能特性

• 变系数处理：支持系数a随时间变化的动态调整，可配置常数、线性函数、指数函数等多种变化规律
• 隐式差分格式：采用Crank-Nicolson方法，具有二阶时间精度和无条件稳定性
• 高效求解：使用三对角矩阵算法(TDMA)快速求解线性方程组
• 灵活边界条件：支持Dirichlet和Neumann两类边界条件
• 完整可视化：提供数值解的空间分布随时间演化的动态显示
• 收敛性分析：内置网格收敛性检验和误差分析功能

使用方法

参数配置

1. 空间离散参数：设置计算域[x_min, x_max]和空间步长dx
2. 时间离散参数：定义模拟时间范围[t_start, t_end]和时间步长dt
3. 系数设置：指定系数a的初始值及其随时间变化的函数形式
4. 初始条件：定义初始时刻u(x,0)的空间分布函数
5. 边界条件：配置左右边界的类型和具体数值

运行求解

执行主程序后，系统将自动完成：

• 计算区域离散化网格生成
• 变系数抛物方程数值求解
• 结果数据的保存与可视化
• 数值误差和收敛性分析

结果输出

• 数值解矩阵：包含所有时间步和空间点的完整解数据
• 系数记录：每个时间步对应的a(t)值
• 空间分布图：不同时刻数值解的对比显示
• 分析报告：数值解的精度和收敛特性评估

系统要求

• MATLAB R2018a或更高版本
• 推荐内存：4GB以上
• 磁盘空间：100MB可用空间

文件说明

主程序文件实现了该求解器的核心功能，包括计算参数的初始化和验证、空间与时间方向的网格划分、系数变化规律的函数定义、初始条件和边界条件的设置、Crank-Nicolson差分格式的矩阵构建、基于TDMA算法的线性方程组求解、数值解的数据存储与管理、结果的可视化展示以及数值误差分析和收敛性检验等完整求解流程。