基于L1范数最小化的压缩感知稀疏表示与信号分类系统

资 源 简 介

本项目旨在利用MATLAB编程环境实现L1范数的精确求解，并将其核心算法应用于压缩感知领域的稀疏表示与数据分类任务。在压缩感知框架下，本项目通过构建观测矩阵与稀疏字典，将高维信号转换为低维测量矢量，随后利用L1范数最小化问题的求解算法，如基追踪算法或原对偶内点法，恢复出信号在该字典下的稀疏系数。该稀疏系数能够有效地提取信号在过完备空间中的本质特征。在分类阶段，系统通过对比待测样本在各类别子字典下的重构残差，或直接利用稀疏系数的分布特性执行分类决策逻辑。该系统功能完整，涵盖了从数据预处理、字典构建、L1范式

详 情 说 明

基于L1范数最小化的压缩感知稀疏表示与信号分类系统

项目介绍

本项目是一个基于MATLAB环境开发的信号处理与分类系统。其核心逻辑建立在压缩感知（Compressive Sensing, CS）理论基础上，利用L1范数最小化算法实现信号的稀疏表示。系统通过将采样过程与识别过程相结合，能够在降维的观测空间内提取信号的本质特征，并通过对比各类别特征的重构残差来实现高精度的信号分类。该系统适用于处理具有稀疏特性的图像、语音或工业传感器信号。

功能特性

1. 自动生成多类别的模拟特征信号，并模拟真实场景中的高斯随机噪声干扰。
2. 实现过完备字典的自动化构建与特征标准化处理。
3. 采用高斯随机矩阵执行信号压缩采样，并利用正交化提取满足约束等距性（RIP）的观测特征。
4. 内置基于交替方向乘子法（ADMM）的高效L1范数优化求解器，支持快速收敛。
5. 采用基于稀疏重构残差的分类决策算法，通过计算待测样本在各个子空间上的重构贡献度决定类别归属。
6. 提供全方位的可视化分析，包括稀疏系数分布、残差对比、混淆矩阵以及测量域信号重构效果对比。

使用方法

1. 环境配置：确保计算机安装了MATLAB R2016b或更高版本。
2. 运行流程：在MATLAB命令行窗口中定位至项目文件夹，运行系统主脚本。
3. 交互输出：系统将自动在命令行打印初始化状态、求解进度以及最终的分类准确率。
4. 结果查看：程序执行完成后，将自动弹出包含四个维度的可视化图表，用于评估模型性能。

系统要求

1. 软件环境：MATLAB (Basic, Signal Processing Toolbox)。
2. 硬件环境：建议内存4GB以上，主频2.0GHz以上的CPU以确保ADMM迭代求解的流畅性。

核心功能实现逻辑

系统按照标准的稀疏表示分类（SRC）流程设计，具体步骤如下：

1. 信号仿真与字典生成：

系统首先定义了多类信号，每类信号在原始高维空间中具有特定的基准特征分布。通过为每个类别生成多个带有随机噪声的样本，构建起一个过完备字典。为了消除能量差异对分类的影响，系统对字典中所有的原子向量进行了单位范数归一化处理。

1. 压缩采样机制：

模拟压缩感知过程，系统生成一个高斯随机矩阵作为观测矩阵，并对其进行正交化处理以优化观测性能。通过该矩阵将原始高维信号投影到低维测量矢量空间。

1. L1范数优化求解：

对于每一个测试样本，系统在测量域中利用构建好的等效字典进行投影。通过求解L1正则化的最小二乘问题，找到样本在过完备字典下的最稀疏系数向量。此步骤实现了信号特征从测量域向稀疏表示域的转换。

1. 残差分类决策：

系统将求得的稀疏系数按照字典所属类别进行拆分。针对每一个类别，仅保留属于该类的稀疏系数，并利用这些系数与对应的子字典重新合成观测信号。通过对比合成信号与原始观测信号之间的L2范数残差，将残差值最小的类别判定为测试样本的最终分类结果。

1. 性能评估与可视化：

系统计算预测标签与真实标签的匹配程度得出准确率。随后展示系数分布图以验证稀疏性，展示残差柱状图以反映类间区分度，展示混淆矩阵以评估分类稳健性，并展示信号重构曲线以验证压缩感知恢复的有效性。

关键算法与技术细节

1. ADMM（交替方向乘子法）求解器：

系统中实现了一个自定义的ADMM求解功能，用于求解无约束的L1正则化问题（LASSO形式）。该算法通过引入辅助变量和对偶变量，将复杂的非平滑优化问题分解为多个简单的子问题：x-更新（最小二乘求解）、z-更新（软阈值收缩）和u-更新（对偶变量更新）。这种方法相比于传统的内点法在大规模字典下具有更好的收敛速度。

1. 软阈值算子（Soft Thresholding）：

作为ADMM算法的核心步骤，软阈值算子用于实现L1范数的邻近映射。它通过对系数进行位移和截断，有效地将接近于零的贡献分量强制置为零，从而产生满足分类要求的稀疏系数分布。

1. 矩阵分解加速：

为了提高每一轮迭代中求解线性方程组的效率，算法在迭代开始前对矩阵进行了Cholesky分解缓存。通过预计算缓存技术，将复杂的矩阵求逆转化为简单的三角方程组回代求解，大幅提升了系统的运算性能。

1. 鲁棒残差分析：

分类逻辑并非直接比较稀疏系数的大小，而是基于重构误差。这种基于贡献度的分类方式对于信号噪声具有天然的抵抗力，即使在低采样率（本系统中默认为0.6倍采样）下也能保持较高的识别精度。