通用扩展卡尔曼滤波器EKF算法实现平台

资 源 简 介

本项目提供了一套高度模块化且通用的扩展卡尔曼滤波器（EKF）算法程序。其核心目的是解决非线性系统的状态估计问题，通过在状态预测和观测过程中对非线性函数进行一阶泰勒展开（雅可比矩阵线性化），实现对系统状态的实时递归最优估计。程序设计注重参数化的灵活性，用户仅需在主函数中修改系统状态转移方程、观测方程、过程噪声协方差矩阵（Q）、测量噪声协方差矩阵（R）以及初始状态评估值，即可快速适配不同的物理模型，如无人机定位、雷达目标跟踪、机器人实时建图或自动驾驶路径规划等场景。程序内部逻辑清晰地划分为初始化阶段、时间更新

详 情 说 明

基于MATLAB的通用扩展卡尔曼滤波器（EKF）算法实现平台

项目介绍

本项目是一个高度模块化的扩展卡尔曼滤波器（EKF）仿真与分析平台，旨在解决具有非线性观测特性的动态系统状态估计难题。平台通过一阶泰勒展开实现系统的线性化近似，能够有效处理含有高斯白噪声的非线性运动模型。在该仿真环境中，默认配置了一个二维恒定速度（CV）运动模型，并结合了典型的极坐标（距离与方位角）观测模型，完整展示了从真实物理量生成、噪声模拟到滤波器状态还原的全过程。

功能特性

1. 非线性状态估计：核心算法支持对非线性观测方程进行实时线性化处理，计算观测阵的雅可比矩阵。
2. 模块化函数设计：状态转移、观测模型以及对应的雅可比矩阵计算均封装为独立子函数，便于用户替换为不同的物理模型。
3. 角度残差处理：针对极坐标系下的方位角跳变问题，内置了角度归一化逻辑，确保滤波过程的收敛性。
4. 完备的性能评估：系统自动计算位置和速度的均方根误差（RMSE），通过量化指标直观反映滤波精度。
5. 多维可视化工具：提供轨迹对比、误差演变、协方差收敛、增益动态和残差分布等五大维度的图表分析。

系统要求

1. 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
2. 必备工具箱：Statistics and Machine Learning Toolbox（用于生成多维正态分布噪声 mvnrnd 函数）。

使用方法

1. 配置参数：在程序起始位置修改仿真步数 T、采样步长 dt、过程噪声协方差 Q 以及测量噪声协方差 R。
2. 设置初始值：根据实际需求调整初始真实状态 X_true 和滤波器初始估计状态 X_est。
3. 执行仿真：运行主程序，系统将依次执行数据模拟、递归滤波。
4. 结果分析：查看命令行输出的 RMSE 评估报告，并观察自动生成的仿真对比图表。

核心算法实现逻辑

程序实现逻辑严格遵循扩展卡尔曼滤波的数学递归过程，主要分为以下四个阶段：

1. 系统初始化阶段

定义状态向量为包含 X/Y 坐标和 X/Y 速度的四维向量。初始化过程噪声协方差矩阵 Q（基于采样时间步长构造）和测量噪声协方差矩阵 R（针对距离和角度）。设定滤波器的初始估计值和误差协方差矩阵 P，为递归循环提供起始点。

2. 真实数据模拟

在每个时间步内，根据状态转移方程和过程噪声生成系统的真实运动轨迹。同时基于真实状态，通过非线性观测方程（计算到原点的距离和方位角）并叠加测量噪声，生成模拟的传感器观测数据。

3. EKF 递归滤波阶段

这是算法的核心部分，每个采样周期执行一次预测和一次修正：

• 时间更新（预测）：利用当前时刻的估计值计算下一时刻的预测状态，并根据状态转移雅可比矩阵更新预测误差协方差 P_pre。
• 测量更新（修正）：

- 计算观测函数的雅可比矩阵 H。 - 计算预测观测值与实际观测值之间的残差（Innovation）。 - 特别针对方位角残差，使用正弦与余弦函数的反正切值进行归一化，防止角度在边界处发生突变。 - 计算卡尔曼增益 K，并依据残差更新状态估计值 X_est 和误差协方差矩阵 P。

4. 数据记录与评估

循环过程中实时记录真实值、观测值、估计值、协方差对角线元素（代表估计的不确定度）以及卡尔曼增益的模长。循环结束后，对比真实轨迹与估计轨迹，计算全过程的 RMSE。

关键函数与算法细节

• 状态转移函数：采用恒定速度（CV）线性模型，描述物体在二维平面内的位置和速度演变。
• 观测模型：实现笛卡尔坐标系到极坐标系的转换，观测值包括距离（x、y 的平方和开根号）和方位角（y/x 的反正切）。
• 雅可比矩阵计算：

- 预测雅可比：由于状态转移为线性模型，其雅可比矩阵等同于状态转移矩阵。 - 观测雅可比：实时计算观测方程对状态变量的一阶偏导数。对于距离和角度，偏导数与当前的预测位置密切相关，程序内通过位置分量与距离的比例关系动态更新 H 矩阵。

• 奇异值处理：在计算观测雅可比矩阵时，加入了距离阈值判断，避免在坐标原点附近出现除以零的计算错误。

仿真结果展示功能

程序通过一个多子图窗口展示滤波性能：

• 轨迹对比图：直观显示真实轨迹、带噪声的观测点分布以及 EKF 滤波后的平滑轨迹。
• 误差曲线：展示 X 和 Y 两个维度上估计误差随时间的变化情况。
• 协方差演变：观察 P 矩阵对角线元素的下降过程，验证滤波器的收敛性。
• 增益动态：反映卡尔曼增益在滤波初期的剧烈调整和稳定后的变化趋势。
• 残差分布：通过直方图分析距离观测残差是否符合高斯分布特征。