基于现代控制理论的二级倒立摆建模与仿真设计

资 源 简 介

本项目是一个针对现代控制理论课程设计的综合性实践案例，主要研究对象为二级倒立摆系统。系统由运动小车、下节摆杆和上节摆杆三部分组成，属于典型的高阶、非线性、强耦合及欠驱动不稳定系统。

详 情 说 明

二级倒立摆建模与仿真综合设计项目指南

项目介绍

本项目是一个针对现代控制理论课程设计的综合性实践案例，核心研究对象为二级倒立摆系统。该系统由一个可以在导轨上水平运动的小车以及两个依次铰接的摆杆组成，是控制理论研究中典型的非线性、高阶、强耦合及欠驱动不稳定系统。项目旨在通过数学建模、线性化分析、控制器设计及非线性动力学仿真，验证现代控制算法对复杂动态系统的稳定控制能力。

功能特性

1. 物理参数化建模：系统支持对小车质量、两级摆杆质量及长度、转动惯量等物理参数的自定义设置。
2. 线性状态空间分析：在垂直平衡点附近进行线性化，生成系统的状态空间方阵 A 和输入矩阵 B，并自动分析系统的受控性和受观测性。
3. 先进控制器设计：采用线性二次型调节器（LQR）进行全状态反馈控制增益设计，平衡系统偏差与控制能量损耗。
4. 全阶状态观测器：针对无法直接测量的速度信息，设计了全阶状态观测器，通过极点配置方法实现状态的实时估算。
5. 闭环非线性仿真：利用高阶数值积分求解器，在包含科里奥利力、向心力及非线性重力项的真实动力学模型下测试控制器的鲁棒性。
6. 动态可视化演示：提供实时物理轨迹曲线绘图及二级倒立摆运动动画，实时展现小车位移与两级摆角的稳定过程。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 必备工具箱：Control System Toolbox（用于 lqr, ctrb, obsv, place 等函数计算）。

实现逻辑与算法说明

#### 1. 系统参数解析 程序初始化阶段定义了完整的多体动力学参数。小车质量 M，第一、二级摆杆质量 m1/m2 以及长度 L1/L2。为了提高计算精度，程序根据物理定义计算了各级摆杆的转动惯量 J1/J2，并引入了小车摩擦阻尼系数 b。

#### 2. 线性化建模与分析 程序在垂直上升的平衡点（各角度为0，速度为0）处，基于拉格朗日方程推导的动力学结构进行线性化。通过求解质量矩阵的逆与系统广义力矩阵，构建了 6x6 的状态矩阵 A 与 6x1 的控制矩阵 B。

• 状态向量包含：小车位移、一级摆角、二级摆角及其各自的一阶导数（速度）。
• 程序通过 rank(ctrb) 和 rank(obsv) 逻辑判定系统是否能够实现完全控制和观测，这是后续设计控制器和观测器的前提。

#### 3. 综合控制器设计

• LQR 控制器：设计了对角权重矩阵 Q，强化了对位移和摆角的约束能力，R 矩阵设定为 1。通过求解代数黎卡提方程获得最优反馈增益 K。
• 状态观测器：采用极点配置算法（Place Algorithm）。为了保证观测器的收敛速度快于系统反馈速度，将观测器的极点强制配置在 LQR 闭环极点的 4 倍位置处，从而获得观测器增益 L。

#### 4. 非线性动力学仿真核心 系统使用 ode45 求解器执行非线性仿真。仿真的核心在于动力学微分方程函数：

• 控制律实现：控制输入 u 并不直接使用真实状态值，而是使用观测器估算的状态值 z_hat，模拟了真实的传感器测量局限性。
• 全系统方程：动力学方程中严谨地构建了随系统状态变化的质量矩阵 M(q)、包含了角速度平方项的科里奥利力和向心力向量 C(q,dq)、以及非线性重力向量 G(q)。
• 观测器同步迭代：在每步积分中，程序同时运行线性化观测器方程，利用小车位移和两个摆角的测量值（C 矩阵定义的输出）对内部状态进行实时修正。

结果分析与性能指标

程序运行结束后会自动生成仿真数据分析图：

• 轨迹对比：实时对比小车位移、一级摆角、二级摆角的真实值与观测器估算值，验证观测器的收敛精度。
• 稳态性能：程序自动计算并输出小车在 2% 误差带下的调节时间以及最终的稳态误差。
• 物理动画：通过 drawmow 机制实现逐帧动画，直观展示系统在初始扰动（如摆杆偏斜 5 度）下，如何通过小车的往复运动最终实现两级摆杆的精准平衡。

使用方法

1. 在 MATLAB 中打开主程序脚本。
2. 直接运行程序，控制台将输出系统的受控性/受观测性分析结果以及设计的增益矩阵。
3. 观察随后弹出的仿真曲线图，验证控制效果（平稳性、调节时间）。
4. 观看动画演示窗口，观察二级倒立摆从倾斜状态恢复至垂直平衡的过程。
5. 如需测试不同工况，可修改程序开头的初始条件 z0 或权重矩阵 Q/R。