基于压缩感知的信号稀疏变换与高效重构系统

资 源 简 介

本项目系统性地实现了压缩感知（Compressed Sensing）理论框架下的核心环节，涵盖了信号稀疏变换、观测矩阵设计以及信号重构算法等一系列最新理论成果。系统旨在通过远低于采样定理要求的采样率实现信号的高精度获取与恢复。 在稀疏变换模块中，项目支持离散余弦变换（DCT）、离散小波变换（DWT）以及基于傅里叶变换（FFT）的多种稀疏基构造，能够针对一维时域信号或二维图像信号提取其核心稀疏成分。 在观测矩阵设计模块，项目实现了高斯随机矩阵、伯努利随机矩阵、部分哈达玛矩阵以及具有结构化特征的托普利兹矩阵。

详 情 说 明

基于压缩感知理论的信号稀疏变换与高效重构系统

项目简介

本项目是一套系统化的压缩感知（Compressed Sensing, CS）算法实现方案。压缩感知理论打破了传统的奈奎斯特采样定律，证明了对于具有稀疏性的信号，可以通过远低于采样频率的测量值实现信号的高精度重构。

系统完整地实现了从信号稀疏表示、观测矩阵构建与优化，到多种主流重构算法的验证流程。通过对一维时域信号和二维图像信号的实验分析，系统科学地展示了不同采样率对信号恢复精度的影响，并提供了算法耗时与误差的量化对比。

功能特性

1. 多维信号支持：系统支持一维离散信号的压缩测量与重构，并扩展至二维图像的逐列压缩采样处理。
2. 稀疏基构造：内置离散余弦变换（DCT）基，用于将非稀疏的时域信号转化为稀疏域信号，提取核心成分。
3. 观测矩阵体系：实现了高斯随机矩阵与具有结构化特征的托普利兹（Toeplitz）矩阵，满足不同物理采样场景的需求。
4. 矩阵相干性优化：引入了基于Gram矩阵缩减的相干性优化算法，通过降低观测矩阵与稀疏基之间的相关性，提升测量效率。
5. 多样化重构算法库：集成了贪婪类（OMP、CoSaMP）、凸优化类（BP-FISTA）以及阈值迭代类（IHT）四种核心算法。
6. 综合性能评估：自动生成采样率与重构误差的关系曲线、计算耗时对比图，并实时计算图像重构的峰值信噪比（PSNR）。

系统要求

1. 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
2. 基础模块：需具备信号处理工具箱（Signal Processing Toolbox）以支持DCT相关运算。
3. 硬件建议：为了获取准确的计算耗时评估，建议在具有稳定CPU频率的计算机上运行。

使用方法

1. 启动程序：在MATLAB开发环境中直接运行主程序脚本。
2. 过程监控：命令行窗口将实时输出当前正在进行的试验阶段（一维信号分析或二维图像重构）。
3. 结果查看：程序运行完成后，系统将自动弹出两个可视化窗口：

- 窗口1展示四种重构算法在不同观测维度（M/N比率）下的相对误差曲线及耗时柱状图。 - 窗口2展示原始合成图像与经过50%采样率压缩重构后的图像对比，并标注PSNR数值。

系统核心逻辑详解

一维信号性能实验流程

系统首先生成长度为256点、稀疏度为30的随机稀疏信号，通过逆DCT变换映射至时域。随后，系统遍历不同的采样率（从25%到75%），在每个采样点下完成以下操作：

• 设计高斯随机矩阵并对其进行相干性优化，使其更符合受限等距性质（RIP）。
• 分别调用OMP、CoSaMP、FISTA和IHT四种算法对信号进行重构。
• 记录每种算法的执行时间及重构出的信号与原始信号的归一化残差。

二维图像压缩感知流程

系统使用内置函数生成一个128x128像素的几何特征测试图像。采用50%的采样率，利用托普利兹矩阵作为观测矩阵。为了平衡计算效率与重构质量，系统对图像进行逐列处理：

• 提取图像的每一列作为原始观测向量。
• 在当前列上应用观测矩阵并使用正交匹配追踪算法（OMP）进行恢复。
• 将重构后的各列重新拼合成完整图像，并计算整体PSNR。

核心算法实现细节分析

1. 观测矩阵优化算法

系统实现了基于Elad收缩思想的相干性优化。该功能通过对Gram矩阵（A'A）的非对角线元素进行阈值缩减，强制降低矩阵各列的相关性，随后利用奇异值分解（SVD）将矩阵重新投影回目标空间。这一步骤能显著提升贪婪算法在低采样率下的成功率。

2. 正交匹配追踪 (OMP)

作为典型的贪婪算法，系统在实现中通过计算残差与观测矩阵各列的内积来识别最相关的原子，并利用最小二乘法（Least Squares）在选定的支撑集上进行投影。该算法计算复杂度较低，适合快速重构。

3. 压缩采样匹配追踪 (CoSaMP)

相较于标准OMP，系统实现的CoSaMP在每一步迭代中选择2K个原子，并加入了剪裁（Pruning）机制，仅保留能量最大的K个分量。这种机制赋予了算法更强的鲁棒性和理论收敛保证。

4. 基追踪的快速迭代软阈值算法 (FISTA)

针对凸优化重构问题（L1范数最小化），系统采用了FISTA实现。对比传统的梯度下降，该实现利用了Nesterov加速技术（通过增加动量项z和计算t权重），在保证L1范数软阈值收缩的同时，大大加快了能量函数的收敛速度。

5. 迭代硬阈值 (IHT)

系统实现了最直观的稀疏约束投影算法。在每次梯度更新后，直接通过硬阈值操作保留绝对值最大的K个元素，并将其他元素置零。该算法在处理具有明确支撑集大小的问题时具有极高的执行效率。

总结与应用场景

本系统通过严谨的数学实现与性能对比，证明了压缩感知技术在信号处理领域的优越性。系统的模块化设计使其能够轻松扩展至医学成像（MRI）模拟、低功耗物联网节点数据压缩以及卫星遥感图像的带宽限制传输等实际应用场景中。