分数阶动力学系统数值仿真与分析平台

资 源 简 介

该项目旨在提供一个集成化的MATLAB工具箱，用于分数阶微分方程（FDEs）的精确求解及其非线性动力学行为的深度分析。 该平台集成了多种主流的分数阶数值算法，包括但不限于基于Grünwald-Letnikov定义的分数阶微积分数值模拟、基于Caputo定义的预估-校正算法（Adams-Bashforth-Moulton方法）以及基于Oustaloup滤波器的高阶近似方法。该工具能够稳定处理线性与复杂的非线性分数阶常微分方程组，克服了传统数值方法在非局部特性记忆项计算上的低效问题。 在动力学行为分析方面，系

详 情 说 明

分数阶动力学系统通用数值仿真与分析平台

本项目是一个基于MATLAB开发的集成化计算平台，专门用于分数阶微分方程（FDEs）的数值求解、非线性动力学行为演化以及复杂混沌特性的定量分析。平台通过实现多种主流分数阶算法，解决了分数阶系统由于非局部特性导致的数值计算难题。

项目核心功能

1. 多算法数值仿真：集成Caputo定义下的预估-校正算法、Grünwald-Letnikov（GL）算法以及Oustaloup滤波器近似算法，支持对分数阶系统进行高精度的时域仿真。
2. 动力学特性分析：支持自动生成时域响应曲线、三维相空间轨迹图、参数敏感性分岔图以及分数阶李雅普诺夫指数（LE）谱。
3. 参数化配置：用户可以自定义分数阶阶次（可以是相同阶次或多维异构阶次）、仿真步长、初值条件以及系统的非线性映射函数。
4. 结果可视化：内置多视图绘图模块，能够直观展示系统的吸引子形态、演化轨迹及稳定性特征。

实现逻辑与算法细节

#### 1. 分数阶数值求解算法 平台在代码中实现了三种核心求解机制：

• ABM预估-校正算法：针对Caputo分数阶定义，采用Adams-Bashforth-Moulton方法。该算法分为预估步（Predictor）和校正步（Corrector）。代码通过预计算权重系数（利用Gamma函数）处理历史记忆项，保证了在处理复杂非线性方程组时的收敛性和稳定性。
• Grünwald-Letnikov (GL)算法：基于离散二项式系数权重的计算逻辑。代码实现了基于记忆项滚动窗口的离散映射计算，通过更新二项式权重序列（W）来逼近分数阶导数。
• Oustaloup滤波器近似法：该方法将分数阶算子在特定频段内近似为高阶整数阶系统。代码根据用户设定的频率范围（w_l, w_h）和阶数计算零极点分布，为研究分数阶系统的频域特性提供了近似转换接口。

#### 2. 非线性动力学行为分析模块

• 分岔图计算逻辑：通过扫描特定系统参数（如Chen系统的控制参数c），在每个参数点下迭代演化系统。代码自动剔除前期的瞬态响应过程，提取系统稳定后的局部极大值点，从而生成反映系统从周期运动到混沌演变的分岔特性图谱。
• 分数阶李雅普诺夫指数（LE）计算：采用基于Wolf方法的演化逻辑。代码通过对系统切空间进行连续演化，并引入QR分解（正交化处理）来防止数值溢出，最终计算出系统在分数阶意义下的LE指数谱，用于定量判断主导混沌特征。
• 雅可比矩阵数值估算：为了配合LE指数计算，代码内置了数值梯度估算函数。利用极小扰动差分法动态生成系统的雅可比矩阵，增强了对任意匿名函数形式系统的通用适配性。

#### 3. 仿真案例实现 代码以经典的“分数阶Chen系统”为例进行演示。该系统包含典型的非线性项（如x*z和x*y），能够产生复杂的混沌吸引子。通过平台仿真，可清晰展示在该系统在阶次（alpha）小于1时的吸引子拓扑结构。

使用方法

1. 配置系统参数：在主程序模块中修改 alpha 向量（设定阶次）、h（设定采样步长）以及 t_end（设定仿真时长）。
2. 定义物理模型：通过修改匿名函数 f_handle，输入待研究的分数阶微分方程组。
3. 执行分析：运行脚本后，系统将依次执行ABM仿真、GL仿真、Oustaloup近似计算、分岔扫描及LE指数分析。
4. 数据解读：程序运行完成后会弹出四个子图，分别展示时域波形、相轨迹、分岔特性图和李雅普诺夫指数柱状图。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 硬件要求：由于分岔图和分数阶累计项计算涉及大量的迭代与历史记忆存储，建议配备 8GB 以上内存。
• 核心函数支持：需确保MATLAB环境中包含用于数学运算的基本函数库（如gamma函数、qr分解函数等）。