基于LLE算法的非线性流形学习降维系统

资 源 简 介

该项目是一个专门用于高维数据处理的MATLAB工具，完整实现了局部线性嵌入（Locally Linear Embedding, LLE）算法。LLE作为一种非线性降维的代表性流形学习方法，其核心目标是在降低数据维度的同时，完整保留原始高维空间中样本点之间的局部邻域拓扑结构。该算法的具体实现过程严格遵循三步走逻辑：第一步是邻域搜索，通过计算各点间的欧氏距离确定每个数据点的K个最邻近样本点；第二步是局部重建权重计算，通过构建约束最小二乘优化问题，求解每个样本点由其邻居点线性表示的最优权重矩阵W，并确保权重之和

详 情 说 明

基于局部线性嵌入(LLE)的流形学习与非线性降维系统

项目介绍

本项目是一个基于MATLAB开发的流形学习算法实现工具，专注于通过局部线性嵌入（Locally Linear Embedding, LLE）算法对高维非线性数据进行降维处理。项目通过模拟经典的“瑞士卷”（Swiss Roll）流形数据，演示了如何将高维空间中的复杂曲面平展到低维平面，同时保持样本点之间的局部几何结构。该系统具有严谨的数学实现和清晰的可视化逻辑，适用于科研教学及模式识别领域。

功能特性

1. 自动流形数据生成：内置三维瑞士卷流形生成器，支持自定义采样点规模，用于模拟非线性降维的典型应用场景。
2. 高效邻域搜索：基于欧氏距离的K近邻（KNN）算法，能够准确识别每个数据点在流形上的局部邻域。
3. 稳健权重求解：实现了带正则化处理的约束最小二乘优化，有效解决由于局部数据共线或采样稀疏导致的协方差矩阵奇异问题。
4. 底层特征分解：采用稀疏矩阵运算进行代价矩阵构建与特征值分解，提取能够代表数据内在结构的低维特征向量。
5. 多维可视化对比：提供原始高维空间与降维后低维空间的同步绘图功能，通过颜色映射直观展示流形展开效果。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 硬件要求：建议内存 8GB 及以上，以支持大规模矩阵运算。

算法实现逻辑

系统严格遵循LLE算法的三步走核心流程：

第一步：邻域搜索 计算数据集中所有样本点之间的欧氏距离矩阵。利用排序算法提取每个点最近的 K 个邻居。这一步确定了流形的局部拓扑连接关系，为后续的线性重构奠定基础。

第二步：局部重建权重计算 对于每个样本点，系统将其与其 K 个邻居进行去中心化处理，并构建局部协方差矩阵。通过求解方程组得到一组最优权重，使得该样本点能被其邻居线性表示的误差最小。为了增强数值稳定性，代码引入了基于矩阵迹（Trace）的正则化因子。最后，对所得权重进行归一化处理，确保每个点的权重之和为 1，从而实现对平移、旋转及缩放的不变性。

第三步：低维嵌入映射 利用求得的权重矩阵构建全局代价矩阵 M。通过稀疏矩阵特征值分解（eigs），寻找模最小的 d+1 个特征值及其对应的特征向量。系统中会自动舍弃第一个最小特征值（接近 0 且对应于静态分量的特征值），选取后续的 d 个特征向量作为低维空间的坐标。

关键细节分析

• 稀疏矩阵的应用：在构建权重矩阵 W 和代价矩阵 M 时，代码采用了 MATLAB 的 sparse 存储格式。对于大规模数据集，这不仅节省了内存空间，还显著提升了后续矩阵乘法和特征值分解的计算效率。
• 正则化策略：针对实际计算中可能出现的奇异协方差矩阵，系统通过 1e-3 * trace(C) 对对角线进行微小扰动。这一处理保证了权重求解过程的鲁棒性，特别是在处理具有强共线性数据的部分。
• 坐标缩放处理：由于特征分解得到的向量通常数值较小，系统在输出降维结果时乘了 sqrt(N) 的缩放因子，使低维映射图的坐标范围更具可读性。
• 重构误差评估：系统通过计算所选特征值的总和来量化降维过程中的信息损失，为用户提供了算法运行质量的数值指标。

使用方法

1. 环境准备：启动 MATLAB 环境。
2. 参数调整：根据需要修改主程序中的 N（样本点数）、K（邻居数）以及 d（目标维度）。
3. 执行程序：运行主脚本，系统将自动依次执行流形生成、邻域搜索、权重计算和特征映射。
4. 结果查看：运行结束后，系统将弹出可视化窗口，左侧显示原始的三维瑞士卷数据，右侧显示降维后的二维平面映射，同时命令行窗口会输出输入输出维度及重构误差。