基于AR自回归模型的时间序列预测与仿真系统

资 源 简 介

本项目设计并实现了一套完整的时间序列分析与预测算法，其核心基于AR（Autoregressive）自回归数学模型。该系统具备从原始序列输入到未来趋势输出的自动化处理能力。在实现过程中，程序首先对观测数据进行中心化处理与平稳性检验，确保数据满足建模要求。系统集成了模型阶数自动判别功能，通过计算AIC（赤池信息准则）和BIC（贝叶斯信息准则）在预设范围内寻找最优的AR模型阶数。在参数估计阶段，算法采用Yule-Walker方程或最小二乘法精确计算自回归系数，从而构建起反映时间序列内在关联的差分方程。预测模块支

详 情 说 明

基于AR自回归模型的时间序列预测与MATLAB仿真系统

项目介绍

本项目实现了一套基于自回归（AR）模型的完整时间序列分析与预测框架。系统采用数学统计方法对平稳时间序列进行建模，通过挖掘序列自身的历史关联性，实现对未来走势的精确推导。该系统集成了从数据预处理、模型定阶、参数估计到多步预测及误差分析的全流程功能，为金融趋势预测、环境指标监测等领域提供了可靠的仿真工具。

功能特性

1. 数据自动化生成与模拟：内置AR(2)过程生成器，可模拟产生具有特定统计规律的随机序列，用于验证模型的有效性。
2. 数据中心化预处理：自动计算训练数据均值并进行去中心化处理，确保建模过程符合平稳随机过程的理论假设。
3. 智能模型定阶：集成了AIC（赤池信息准则）与BIC（贝叶斯信息准则）评价指标，可在设定的范围内自动寻找平衡模型复杂度与拟合精度的最优阶数。
4. 高精度参数估计：主算法通过计算自相关函数并求解Yule-Walker方程组（利用Toeplitz矩阵结构）获取AR系数，同时备选支持最小二乘法估计。
5. 多步递归预测：支持利用历史观测值对未来多个时刻进行连续推导，系统会自动将预测结果反馈至输入端进行迭代演算。
6. 全方位可视化评估：系统同步生成原始序列、样本内拟合、前向预测值与真实值的对比图，并提供残差分布及定阶准则曲线图。

系统要求

• MATLAB R2016b 或更高版本。
• 环境无需额外安装工具箱，核心算法均基于矩阵运算实现。

实现逻辑与程序流程

1. 初始化与数据准备：首先生成或读入长度为N的时间序列。程序通过设定训练集比例，将数据划分为用于建模的训练部分和用于精度验证的测试部分。
2. 数据标准化：计算训练集的平均值。在建模前减去均值，在最终输出预测结果时重新加回均值，以保证预测值的物理含义一致。
3. 模型定阶逻辑：

* 遍历从1到最大预设阶数的所有可能值。 * 针对每个阶数计算噪声方差。 * 根据对数似然函数与惩罚项计算AIC与BIC得分。 * 系统默认选取BIC最小值的阶数作为最终建模阶数，以防止过拟合。

1. 参数求解过程：

* 首先计算各阶延迟的自相关系数（ACF）。 * 构造Toeplitz形式的自相关矩阵。 * 解线性方程组得到自回归系数向量。

1. 递归演算预测：

* 样本内拟合：根据求得的系数对历史数据进行回顾性计算。 * 样本外预测：采用“自反馈”模式，即预测出的第T+1个点将被作为已知值，参与到第T+2个点的预测计算中，以此类推直至达到设定的预测步数。

1. 指标计算与绘图：

* 计算均方根误差（RMSE）与平均绝对误差（MAE）。 * 绘制时间序列对比图、残差序列图、残差分布直方图以及AIC/BIC准则演变图。

关键算法与技术细节

Yule-Walker参数估计

系统通过计算序列的自相关函数来构建Yule-Walker方程。通过对Toeplitz矩阵求逆或利用左除算子求解线性方程组，能够高效地获得反映序列延迟特性的自回归系数 $phi$。这种方法在处理平稳序列时具有极高的计算稳定性。

模型定阶准则

• AIC (Akaike Information Criterion)：倾向于选择拟合效果更好的模型。
• BIC (Bayesian Information Criterion)：在样本量较大时对阶数的惩罚更严厉，倾向于选择更简洁的模型。

代码中实现了上述两种准则的数值化对比，以便用户直观观察模型复杂度的权衡结果。

递归多步预测算法

程序利用状态更新机制，维护一个动态滑窗。每一步预测产生的数值都会被追加到序列末尾，更新特征向量，使得模型能够持续向后推导。这种方法充分利用了AR模型的线性差分特性。

误差分析系统

通过对预测误差（残差）进行分布分析，系统可以验证模型是否提取了原始数据中的所有确定性信息。若残差呈现白噪声分布（直方图趋近正态分布），则证明模型构建非常成功。