基于Kalman滤波的预测与平滑算法实现

资 源 简 介

该项目提供了一套完整的离线与在线Kalman处理源代码，涵盖了卡尔曼滤波、一步预测以及卡尔曼平滑三个核心模块。滤波模块通过递归算法实时处理带有噪声的传感器数据，以获得最优状态估计。一步预测模块利用当前状态与状态转移矩阵对下一时刻的状态进行提前预测，广泛应用于雷达目标跟踪、自动导航及时间序列预测等领域。平滑模块则针对已采集的完整数据集，利用后向处理机制进一步优化滤波结果，有效减小估计误差并提高轨迹的平滑度。本代码集支持多维状态空间建模，适用于线性动态系统，并提供了详细的协方差更新与增益计算过程，方便科研人员

详 情 说 明

基于MATLAB的Kalman滤波器、一步预测及平滑算法实现

该项目是一个综合性的数学仿真实验平台，旨在演示和评估线性动态系统在噪声环境下的状态估计性能。项目集成了标准Kalman滤波（Kalman Filter）、一步预测（One-step Prediction）以及Rauch-Tung-Striebel (RTS) 平滑算法，构建了从实时数据处理到离线轨迹优化的完整工作流。

项目介绍

本项目模拟了一个典型的运动目标跟踪场景。通过建立高度抽象的数学模型，系统能够从含有大幅度观测噪声的数据中提取目标的真实运动状态（如位置和速度）。核心算法的设计兼顾了在线处理的实时性（滤波与预测）与离线处理的精确性（平滑），是导航定位、信号处理及运动控制等领域研究的核心基础。

功能特性

• 实时状态估计：利用递归算法对传感器观测数据进行实时修正，输出当前最优的状态点。
• 提前预测能力：通过状态转移矩阵对系统未来时刻的演化进行数学外插，支持提前预测功能。
• 离线数据优化：基于RTS后向平滑算法，在获取完整观测序列后进行全局优化，通过消除滤波时滞提高整体轨迹的平滑度与精度。
• 多维状态建模：内置一套经典的恒定速度(CV)模型，支持多维状态空间（位置与速度）的联合建模与协方差更新。
• 精度定量评估：自动计算滤波与平滑结果相对于系统真值的均方根误差(RMSE)，直观展现算法优劣。

系统要求

• MATLAB R2016b 或更高版本。
• Statistics and Machine Learning Toolbox（用于执行多变量正态分布随机数生成函数 mvnrnd）。

实现逻辑与功能细节

该算法通过以下五个阶段实现其核心功能：

1. 系统建模与参数设定

代码定义了一个离散时间的线性系统。系统状态向量包含位置和速度两个维度。状态转移矩阵 A 设定为恒定速度模型，观测矩阵 C 设定为仅位置可观测。同时定义了过程噪声协方差 Q 和测量噪声协方差 R，用于模拟真实世界的系统不确定性。

1. 真值与观测数据合成

系统基于定义的运动模型产生真实的运动轨迹。通过调用随机数生成引擎，在真实轨迹上叠加符合正态分布的系统噪声和观测噪声，从而产生仿真所需的原始传感器数据（观测值）。

1. 正向Kalman滤波与一步预测

算法核心在时间循环中执行：

• 预测步：根据前一时刻的最优估计和系统动态方程，推算出当前时刻的预测值及其预测误差协方差。
• 更新步：计算Kalman增益，并利用当前的观测值对预测结果进行加权修正，获得当前时刻的最优估计值。
• 一步预测功能：在获得当前最优估计后，再次应用状态转移矩阵，提前计算出下一时刻的预期状态。

1. 后向RTS平滑处理

在完成所有时刻的正向滤波后，算法进入平滑阶段。平滑过程是逆时间轴执行的：

• 平滑增益计算：利用当前时刻的滤波协方差与下一时刻的预测协方差计算平滑增益。
• 状态回溯：结合未来的平滑残差对当前滤波值进行修正。该过程使得每一个时刻的估计都参考了全量的数据信息，极大地降低了估计误差。

1. 结果分析与可视化

系统通过计算位置分量的RMSE来定量分析性能。在可视化环节，代码生成了三张关键图表：显示滤波平滑效果对比的轨迹图、速度状态估计对比图、以及反映估计确定性的误差协方差演化曲线。

关键函数与算法分析

• Kalman滤波递归更新：代码通过 P_pred = A*P_filt*A' + Q 实现了系统不确定性的向前传播，这体现了预测过程中模型误差的累积。
• Kalman增益 K 的计算：作为预测信息与测量信息之间的权重分配器。代码精确实现了测量矩阵与协方差矩阵的乘积与逆运算，保证了在噪声环境下提取信号的最优性。
• RTS平滑增益 G：这是平滑算法的关键，它描述了后一时刻的修正信息如何反向传播给前一时刻。通过这种机制，RTS平滑能够显著削减Kalman滤波在动态变化时的相位滞后。
• 协方差矩阵 P：代码实时计算并存储了每一时刻的误差协方差 P。P 的迹（Trace）反映了系统对当前状态估计的信心水平。通过对比滤波协方差与平滑协方差，可以清晰看到后处理对不确定性的显著压制。

使用方法

1. 启动 MATLAB 环境。
2. 将项目相关的脚本文件放置在当前工作路径下。
3. 运行主函数。
4. 程序将自动进行数值仿真，并弹出两个图形窗口：

• 窗口 1 展示位置与速度的拟合效果对比，并在标题栏实时显示滤波与平滑的 RMSE。
• 窗口 2 分别展示预测误差协方差的演化趋势，以及一步预测功能与模型真值的匹配验证结果。

1. 开发者可以根据实际需求修改 A、C、Q、R 等矩阵参数，以适应不同的线性系统模型或传感器环境。