BP神经网络算法实现程序

资 源 简 介

该项目包含一个名为bp.m的核心脚本文件，是专为深入理解和掌握BP（Back-Propagation）反向传播算法而设计的经典教学与实战案例。程序完整复现了神经网络的学习过程，即通过输入信号的前向传播计算实际输出值，随后根据预测值与期望值之间的误差进行反向传播。在反向传播阶段，程序运用梯度下降法和高等数学中的链式求导法则，精确计算出每一层权值和偏置对总误差的影响梯度，并以此为依据进行负梯度方向的调整，从而逐步减小全局误差。该程序代码结构清晰，涵盖了数据初始化、激活函数设置、前馈计算、误差修正及收敛判断等完

详 情 说 明

BP神经网络算法实现程序项目指南

项目介绍

本项目实现了一个经典的BP（Back-Propagation）反向传播神经网络算法，旨在通过纯代码逻辑展示神经网络如何学习非线性函数关系。程序以数学函数 $y = sin(x_1) + cos(x_2)$ 为拟合目标，完整演示了从数据预处理、网络构建、前馈计算到反向梯度更新的闭环过程，是一个深入理解深度学习底层原理的教学与实战参考。

功能特性

• 手动复现底层算法：不依赖深度学习高层框架，直接通过矩阵运算实现误差反向传播过程。
• 非线性建模能力：通过 Sigmoid 激活函数和两层权重架构，实现对双变量非线性函数的精确拟合。
• 标准化数据处理：内置数据归一化与反归一化模块，确保训练过程的收敛速度和数值稳定性。
• 实时训练监控：动态输出每一百次迭代的均方误差（MSE），直观展示网络收敛情况。
• 多维度结果评价：包含误差迭代曲线图、预测对比图，并计算测试集的 MSE 和相关系数。
• 模型导出功能：训练完成后自动将权值和偏置矩阵保存至工作区，便于后续调用。

系统要求

• 运行环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 依赖工具箱：需要安装 Deep Learning Toolbox（以调用 mapminmax 归一化函数）。

实现逻辑与步骤

程序严格遵循神经网络的标准训练流程：

1. 数据集构造与预处理

* 生成 $100 times 100$ 的网格坐标点作为输入特征，计算对应的非线性函数值作为目标值。 * 执行随机打乱操作以消除样本顺序对模型的影响。 * 将数据划分为训练集和测试集。 * 使用 mapminmax 函数将输入和输出数据映射到 $[-1, 1]$ 区间。

1. 网络结构配置

* 输入层：2个神经元（对应输入特征维度）。 * 隐藏层：10个神经元，采用 Sigmoid 激活函数。 * 输出层：1个神经元，采用线性激活函数以适应回归任务。

1. 核心算法实现

* 参数初始化：使用小型随机数均匀化初始权重 $W$ 和偏置 $B$。 * 前向传播：通过矩阵乘法计算各层输入，应用 Sigmoid 函数计算隐藏层输出。 * 误差计算：计算全样本的均方误差（MSE）作为目标损失函数。 * 反向传播（BP）：基于链式求导法则，计算输出层对误差的梯度，并将其传递至隐藏层，利用 Sigmoid 的导数 $f(z)(1-f(z))$ 计算隐藏层误差项。 * 参数更新：采用梯度下降法，结合设定的学习率，沿负梯度方向修正权值。

1. 模型评估与可视化

* 在每次训练迭代后检查是否达到目标误差阈值。 * 训练结束后，加载测试集进行前向推理，并将结果反归一化回原始尺度。 * 通过绘图对比期望输出与预测输出的重合程度。

关键函数与实现细节分析

1. 非线性映射（激活函数） 程序中隐藏层使用了 Sigmoid 函数。在反向传播阶段，为了计算权重的更新量，程序直接利用了 Sigmoid 函数的微分特性。由于 A1 是 Sigmoid 的输出，其导数直接表示为 A1 .* (1 - A1)，通过矩阵点乘高效求得梯度。

2. 梯度计算与参数更新 算法实现了批量梯度下降。在每一轮迭代（Epoch）中，程序利用整个训练集的平均梯度进行更新。

• 输出层梯度项 dZ2：直接由实际值与期望值的差值推导。
• 隐藏层梯度项 dZ1：由输出层误差的反向加权投影并结合隐藏层激活函数的导数得到。
• 偏置更新：通过对梯度矩阵在样本维度进行求和均分实现。

3. 数值稳定性保障 归一化步骤是程序成功的关键。通过将输入数据缩放到 $[-1, 1]$ 范围，避免了因输入数值差异过大导致的神经元进入激活函数饱和区（梯度消失问题）。

4. 评价指标 程序通过相关系数（Correlation Coefficient）评价预测模型与真实数据之间的线性相关程度，该系数越接近 1，表示模型的回归拟合效果越理想。

使用方法

1. 启动 MATLAB 软件环境。
2. 将程序代码复制或打开到编辑器中。
3. 点击“运行”按钮或在命令行输入主函数名称。
4. 在控制台查阅训练进度和最终的评价统计指标。
5. 观察弹出的可视化图形窗口，分析误差收敛曲线及拟合精度。
6. 训练好的模型参数可以通过工作区中的结构体变量进行进一步分析。