基于MATLAB的运筹学运输问题求解系统

资 源 简 介

该项目是一套完整的基于MATLAB开发的运筹学运输问题求解工具，旨在解决在多个生产地与多个销地之间如何分配货物以使总运输成本最低的优化问题。项目实现了经典的表上作业法全过程，功能涵盖了产销平衡判定、初始基可行解构造、最优性检验以及解的迭代调整。程序能自动处理产销不平衡的情况，通过增设虚拟产地或虚拟销地将问题转化为平衡模型。在算法细节上，用户可以选择西北角法、最小元素法或伏格尔近似法（Vogel's Approximation Method）来生成初始方案，并利用位势法（MODI法）进行判别数计算，结合闭合

详 情 说 明

运输问题MATLAB求解系统

本项目是一套基于MATLAB开发的运筹学运输问题专业求解工具。该系统旨在通过数学建模与优化算法，解决在多个生产地与多个销售地之间如何分配货运量，从而使物流运输总成本达到最小化的核心决策问题。

功能特性

• 智能产销平衡处理：系统能够自动识别产销平衡状态。针对产大于销或销大于产的情况，程序会自动增设具有零运价的虚拟销地或虚拟产地，将其转化为标准平衡模型进行处理。
• 高效初始解构造：采用伏格尔近似法（VAM）生成初始基可行解。该方法通过计算行、列的惩罚值（次最小运费与最小运费之差），能极大程度上接近最优解，有效减少后续迭代次数。
• 严谨的最优性检验：利用位势法（MODI法）计算各行各列的位势，并据此求出所有非基变量的判别数。
• 迭代优化与回路搜索：系统内置递归闭合回路搜索算法。当检测到判别数为负时，自动构建闭合回路进行运量调整。
• 完善的退化处理机制：针对计算过程中可能出现的物资分配“退化”现象（即基变量个数少于m+n-1），系统具备基变量补足逻辑，确保优化过程的连续性。

使用方法

1. 准备数据：在主程序模块中定义单位运价矩阵、产地供应量向量以及销地需求量向量。
2. 配置参数：可以直接使用默认的矩阵示例，或根据实际业务场景修改输入变量。
3. 运行程序：在MATLAB命令行窗口执行主函数。
4. 查看报告：程序将依次输出产销平衡分析结论、最终的最优运量分配矩阵、最终迭代的判别数矩阵以及计算得出的最小总运输成本。

系统要求

• MATLAB R2016a 或更高版本。
• 无需安装额外的工具箱，核心算法均基于标准MATLAB语言实现。

核心实现逻辑说明

主程序模块封装了完整的运输问题求解工作流，具体步骤如下：

1. 初始化与平衡预处理 程序首先获取输入矩阵的维度。计算总供应量与总需求量的差值。若供应量较大，在运价矩阵右侧增加一列全零运价；若需求量较大，在运价矩阵下方增加一行全零运价。这一步确保了后续算法运行在数学上的完备性。

2. 伏格尔近似法 (VAM) 逻辑实现 该功能块负责在剩余的行和列中寻找惩罚值（Penalty）最大的索引。在确定的特定行或列中，挑选运价最小的格子进行最大可能运量的分配。分配后更新剩余供应量和需求量，并标记已耗尽的生产地或销地。针对可能出现的退化问题，在初始分配结束后，会通过循环检查并补齐基变量。

3. 位势法 (MODI) 计算 在每一轮迭代中，程序通过已选定的基变量建立方程组（u_i + v_j = C_ij）。系统令第一个产地的位势 u(1) = 0，通过迭代求解出所有行位势 u 和列位势 v。随后，利用这些位势计算非基变量格子的判别数 sigma = C_ij - (u_i + v_j)。

4. 闭合回路搜索与调整 根据判别数矩阵定位最负的单元格作为入基变量。利用递归算法在当前的基变量集合中寻找一条闭合回路。该回路从入基格出发，交替寻找水平和垂直方向上的基变量格，最终回到起点。系统根据回路中偶数节点上的最小运量确定调整量，对回路节点进行加减处理。

5. 迭代收敛判定 当所有非基变量的判别数均大于或等于零（允许极小的浮点数误差）时，程序判定当前分配方案已达到全局最优，停止迭代并输出结果。

关键函数与算法细节

• 基变量管理：系统使用一个布尔矩阵实时跟踪在该迭代步骤中哪些单元格属于“基变量”。这对于正确执行位势计算和回路搜索至关重要。
• 回路递归搜索：算法采用了基于深度的搜索策略，在寻找闭合回路时严格遵循行列交替原则，确保搜索到的回路符合单纯形法在运输问题中的几何意义。
• 退化修复逻辑：在迭代过程中，如果由于运量调整导致基变量数量不足，系统会扫描非基格，通过添加不构成回路的“零运量基”来修复基结构。
• 产销判别报告：在求解开始前，系统会生成一份简要的文本报告，告知用户当前问题的产销平衡状态以及系统采取的补齐措施。