基于MLS的高维移动最小二乘无网格近似工具箱

资 源 简 介

本工具箱提供了一种基于移动最小二乘法（Moving Least Squares, MLS）的通用近似计算框架。MLS是现代无网格法（Meshless Methods）中的数学核心，其基本原理是在评估点附近的局部影响域内，通过加权最小二乘原理对节点值进行多项式拟合，从而获得在全域内具有高阶连续性的近似函数。 本系统虽然以清晰的一维代码结构为实现基础，但其算法逻辑严格遵循向量化运算协议，能够无缝支持并扩展至二维、三维甚至更高维度的空间数据处理，解决了传统网格法在高维空间中网格划分困难的问题。

详 情 说 明

基于MLS移动最小二乘法的高维扩展无网格近似工具箱

本工具箱提供了一种基于移动最小二乘法（Moving Least Squares, MLS）的通用近似计算框架。MLS是现代无网格法（Meshless Methods）中的数学核心，其基本原理是在评估点附近的局部影响域内，通过加权最小二乘原理对节点值进行多项式拟合，从而获得在全域内具有高阶连续性的近似函数。本系统以一维代码结构为基础，但其算法逻辑遵循向量化运算协议，能够支持向高维空间数据处理的扩展。

项目介绍

移动最小二乘近似不依赖于预定义的网格拓扑关系，仅通过节点坐标及其属性值即可实现高精度的函数拟合与导数计算。本工具箱完整实现了从采样点生成、局部窗口权重计算、形函数构造到数值导数求解的完整MLS流程。它解决了传统有限元或有限差分法在处理高维复杂边界或大变形问题时网格质量劣化的问题。

功能特性

1. 多维扩展逻辑：核心算法采用向量化设计，基函数构造逻辑预留了二维及三维空间的扩展接口。
2. 灵活的基函数阶数：支持常数、线性及二次多项式基函数，以适应不同平滑度的近似需求。
3. 多种权函数选择：内置三次样条（Cubic Spline）、四次样条（Quartic Spline）及高斯（Gaussian）权函数，支持自定义衰减特性。
4. 数值导数计算：除了计算函数近似值外，还通过解析求导形函数的方法，精确计算评估点处的一阶导数。
5. 自动影响域计算：系统能根据节点分布密度，自动调整支撑半径，确保计算过程中的矩阵奇异性最小化。
6. 可视化分析：集成自动化绘图功能，直观展示拟合曲线、一阶导数分布及绝对误差曲线。

使用方法

1. 配置环境：确保您的计算环境安装了支持矩阵运算的科学计算工具（如MATLAB R2016b及以上版本）。
2. 参数调整：在主函数起始部分修改空间维度（dim）、节点数量（n_nodes）、评估点数量（n_eval）以及基函数阶数（poly_order）等参数。
3. 选择权函数：通过修改参数 weight_type 来切换不同的平滑核函数。
4. 执行计算：运行程序后，系统将自动生成采样数据并进行MLS迭代计算。
5. 结果查看：计算完成后，控制台将输出均方根误差（RMSE）和最大误差，同时弹出可视化窗口展示拟合细节。

系统要求

1. 基础环境：MATLAB 2016b 或更高版本。
2. 硬件需求：标准桌面级CPU即可，对于大规模采样点（>10000点），建议开启并行计算支持。

实现逻辑与算法细节

#### 1. 核心近似原理 系统在每一个评估点处，通过最小化加权离差平方和来确定局部多项式系数。近似值被表示为基函数向量与形函数向量的内积。

#### 2. 基函数构造逻辑 提供多项式基函数矩阵构造功能。对于一维情况，支持从0阶到任意阶的幂函数构造；对于高维情况，实现了包含交叉项的二次全多项式逻辑。

#### 3. 权函数及其导数 权函数定义了节点的局部影响范围。系统不仅实现了权重值的计算，还严格推导并实现了权重对于空间坐标的导数，这是计算物理量梯度（如速度场、压力梯度）的关键。

#### 4. 矩阵系统求解 在每个评估点，系统构造矩矩阵 A 和向量 B。为应对节点分布不均导致的矩阵病态问题，系统内置了正则化处理逻辑，通过条件数检查并在对角线添加微小扰动来保证求逆过程的稳定性。

#### 5. 形函数求导算法 数值导数并非通过简单的有限差分得到，而是通过对形函数显式求导。算法计算了矩阵 A 和矩阵 B 的偏导数，并结合矩阵求逆导数公式，精确获得近似函数的一阶导数。

#### 6. 误差度量 通过对比解析真值与近似值，计算均方根误差 (RMSE) 和最大绝对误差，定量评估无网格近似的收敛精度。