基于最小二乘法的离散点椭圆拟合程序

资 源 简 介

本项目实现了一套完整的离散数据椭圆拟合方案。其核心逻辑是利用最小二乘法理论，通过对椭圆的一般二次方程Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0进行参数估计。通过构造设计矩阵并引入非平凡解约束，程序将非线性几何拟合问题转化为线性最小二乘问题或特征值求解问题，从而有效计算出椭圆的各项代数系数。拟合过程充分考虑了离散观测值中的随机误差，通过最小化所有采样点到待定曲线的代数距离平方和，得到全局最优的椭圆参数。该工具不仅能够计算出椭圆的一般方程系数，还能自动将其转换为直观的几何参数，包括椭圆中心坐标、长半轴长度

详 情 说 明

基于最小二乘法的离散点椭圆拟合工具 (MATLAB)

项目介绍

本工具提供了一套完整的 MATLAB 实现方案，用于从含有噪声的二维离散点数据中精确拟合椭圆参数。其核心算法基于代数距离最小化方案，通过解决线性最小二乘问题，将复杂的非线性几何拟合转化为稳健的矩阵运算。该工具无需依赖任何外部工具箱，完全利用 MATLAB 的核心矩阵计算能力（如奇异值分解 SVD），能够高效地计算出椭圆的一般方程系数，并自动推导出圆心、长短半轴及旋转步角等几何特征。

功能特性

1. 纯算法实现：完全基于线性代数理论和 MATLAB 内置函数，不依赖 Image Processing 或 Optimization 等额外工具箱。
2. 高稳定性：采用奇异值分解（SVD）求解超定方程组，即便在数据含有明显噪声或点分布不完全的情况下也能保证数值稳定性。
3. 自动参数转换：不仅提供代数形式的二次方程系数（A, B, C, D, E, F），还能自动计算物理意义明确的几何参数（中心、轴长、倾角）。
4. 仿真验证系统：内置仿真数据生成模块，可自定义椭圆属性及噪声水平，便于评估拟合精度。
5. 直观可视化：自动生成对比图表，包含原始散点、拟合曲线、圆心标注及关键参数的实时文本标注。

使用方法

1. 确保计算机已安装 MATLAB 环境。
2. 将相关代码脚本放置在同一工作目录下。
3. 在 MATLAB 命令行窗口中直接运行该程序。
4. 程序将自动执行以下流程：

* 生成一组带有随机高斯噪声的椭圆离散点。 * 在命令行输出拟合得到的中心坐标、长短半轴长度以及旋转角度。 * 弹出可视化窗口，对比展示原始噪声数据与拟合后的平滑椭圆曲线。

系统要求

• MATLAB R2016b 或更高版本。
• 支持基础的矩阵运算功能。

实现逻辑说明

本程序的执行流程严格遵循以下数学与逻辑步骤：

1. 数据仿真模块

程序首先通过极坐标方程生成标准的椭圆轨迹点。通过预设中心 (15, 20)、长半轴 50、短半轴 25 以及 $45^circ$ 的旋转角。为了模拟真实测量环境，程序向这些理想坐标点添加了 $sigma=0.8$ 的高斯白噪声。

2. 构建设计矩阵

基于椭圆的一般二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$，程序将每个观测点 $(x_i, y_i)$ 代入方程，构造设计矩阵 $D$。该矩阵的每一行对应一个采样点，包含 $[x^2, xy, y^2, x, y, 1]$ 六项特征。

3. SVD 求解超定方程

为了求解参数向量 $mathbf{v} = [A, B, C, D, E, F]^T$，程序对矩阵 $D$ 进行奇异值分解（SVD）。在 $Dmathbf{v} = 0$ 的约束下，最小奇异值所对应的右奇异向量（即矩阵 $V$ 的最后一列）即为该线性代数拟合的最优解。这一步有效地将曲线拟合转化为最小化代数距离平方和的问题。

4. 几何参数提取

得到代数系数后，程序利用二次曲线的几何不变性进行参数转换：

• 中心点 (xc, yc)：通过偏导数联立方程组，利用 A, B, C, D, E 的组合计算出椭圆中心的解析解。
• 半轴长度 (a, b)：通过计算二次项系数的组合及判别式，求得长轴与短轴的长度，并自动进行大小排序。
• 旋转角度：使用 atan2 函数处理方向象限，根据 $B$ 和 $A-C$ 的比例关系计算椭圆主轴相对于坐标轴的倾斜角。

5. 结果呈现

最后，程序利用得到的几何参数重新生成密集采样点，绘制出的红色的拟合曲线叠加在散点图上。通过 scatter 展示原始点，plot 展示拟合曲线，并利用 text 函数在图形界面上动态标注计算结果，实现结果的所见即所得。

关键算法细节

• 非平凡解约束：在 SVD 求解过程中，隐含了单位范数约束 $|mathbf{v}| = 1$，这避免了平凡解（全零解）的出现。
• 鲁棒性处理：在计算半轴长度时，使用了 abs 处理开方前的数值，防止由于代数拟合过程中的极微小数值波动导致负值出现。
• 角度处理：旋转角度由 0.5 * atan2(B, A - C) 确定，这能正确反映椭圆在 $0$ 到 $pi$ 范围内的倾斜情况。