纪洪诺夫正则化方法Tikhonov

资 源 简 介

纪洪诺夫正则化方法Tikhonov

详 情 说 明

纪洪诺夫正则化方法（Tikhonov Regularization）是解决不适定逆问题的经典技术，尤其在线性代数与数值计算领域应用广泛。该方法由俄罗斯数学家安德雷·纪洪诺夫提出，核心思想是通过引入正则化项来平衡解的精确性与稳定性。

该方法的核心在于对病态方程组进行改造，通过在目标函数中添加一个加权范数项来抑制噪声放大现象。这种改造使得原本对微小扰动极其敏感的解变得稳定，虽然会牺牲部分精度，但显著提高了结果的可靠性。其数学形式表现为在最小二乘问题中加入L2范数约束。

纪洪诺夫正则化在信号处理、图像重建和机器学习等领域都有重要应用。例如在CT扫描图像重建中，该方法能有效抑制因投影数据不足导致的伪影；在机器学习中，它与岭回归(Ridge Regression)有着密切联系，都通过约束参数空间来防止过拟合。

该方法的关键在于正则化参数的选择，这直接影响着解的平滑程度与数据拟合程度之间的权衡。常用的参数选择方法包括L曲线准则、广义交叉验证等。适中的参数值能够在保持解的特征同时有效抑制噪声干扰。

纪洪诺夫正则化因其理论完备性和实现简便性，至今仍是处理逆问题的首选方法之一，特别适用于要求解稳定且对误差有一定容忍度的工程应用场景。