基于高斯赛德尔法的线性方程组解法、基于牛顿法及改进的牛顿法实现对

资 源 简 介

基于高斯赛德尔法的线性方程组解法、基于牛顿法及改进的牛顿法实现对

详 情 说 明

高斯赛德尔法是一种迭代求解线性方程组的经典算法。它通过逐步逼近的方式求解方程组，特别适合处理大型稀疏矩阵。该方法的核心思想是在每次迭代中，利用当前已更新的变量值来计算下一个变量，从而加快收敛速度。相比于雅可比迭代法，高斯赛德尔法通常具有更快的收敛性。对于病态系数矩阵的情况，可以结合预处理技术来改善收敛性。

牛顿法是求解非线性方程的强大工具，它基于局部线性近似原理，通过迭代逼近方程的根。该方法需要计算函数值及其导数，利用切线信息快速收敛。但传统牛顿法对初始值选择较为敏感，且需要保证导数不为零。

改进的牛顿法通过多种策略增强算法的鲁棒性：阻尼牛顿法引入步长控制避免过度修正；弦截法用差商代替导数计算，降低求导成本；拟牛顿法则构建近似的Hessian矩阵，适用于高维问题。这些变体在保证收敛速度的同时，提高了算法的稳定性和适用范围。