解线性方程组的迭代法

资 源 简 介

解线性方程组的迭代法

详 情 说 明

解线性方程组的迭代法是一种逐步逼近精确解的数值计算方法，尤其适用于大型稀疏矩阵系统。其核心思想是通过构造迭代格式，将复杂问题拆解为重复的简单计算步骤。

在MATLAB实现中，常用的迭代法包括雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代。雅可比迭代需要同时保存新旧两代解向量，每次更新完全依赖前一轮结果；而高斯-赛德尔迭代则即时利用已更新的分量，通常收敛更快。两种方法都需要将方程组转化为x=Bx+f的等价形式。

关键实现要点包括：判断系数矩阵是否对角占优以保证收敛性，设计误差终止条件（如相邻两次迭代结果的差值范数小于设定阈值），以及避免显式求逆矩阵。对于病态方程组，可能需要引入松弛因子构建SOR方法。

MATLAB的优势在于其向量化运算能高效处理迭代过程中的矩阵乘法，用户可通过预分配结果数组提升性能。实际应用中需注意：迭代法不一定收敛，且收敛速度受初始值影响，这与直接法（如LU分解）形成互补关系。