最小二乘解方程组

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最小二乘解方程组

详 情 说 明

在数值计算领域，求解超定方程组的最小二乘解是一个经典问题。当方程数量多于未知数时，我们通常需要寻找最优近似解。本文将探讨三种主流方法：正规方程法、QR分解法和SVD分解法。

正规方程法通过构建Gram矩阵将问题转化为对称正定线性系统，这种方法实现简单但数值稳定性较差。当矩阵条件数较大时，舍入误差会被显著放大。

QR分解法通过正交变换将系数矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的乘积。这种方法避免了显式计算Gram矩阵，因此具有更好的数值稳定性。Householder变换和Givens旋转是常用的QR分解实现方式。

SVD分解法通过奇异值分解将矩阵分解为两个正交矩阵和一个对角矩阵。这种方法不仅能处理秩亏矩阵，还能通过截断小奇异值来实现正则化效果，具有最强的数值稳定性，但计算成本也最高。

三种方法的准确性排序通常是：SVD > QR > 正规方程。在条件数适中的情况下，QR分解法往往是最佳选择，兼顾了精度和效率。对于病态问题或需要秩分析的场景，则应当优先考虑SVD方法。实际应用中需根据矩阵特性、精度需求和计算资源进行权衡选择。