非连续 galerkin 方法的算法

资 源 简 介

非连续 galerkin 方法的算法

详 情 说 明

非连续Galerkin（DG）方法是一种用于求解偏微分方程的高效数值算法，尤其适用于对流占优问题。该方法结合了有限元和有限体积方法的优点，在单元边界处允许解的不连续性，通过数值通量来维持整体守恒性。

算法的核心思想是将计算域划分为多个单元，在每个单元内使用多项式近似解。与传统连续Galerkin方法不同，DG方法允许相邻单元间的解存在跳跃，这使得它能更好地处理解的不连续性和陡峭梯度。对于Advec1D这类一维对流问题，DG方法的实现通常包括以下关键步骤：

首先进行空间离散，将一维计算域划分为若干单元。在每个单元内部，使用特定阶数的多项式基函数来表示解。然后对控制方程进行弱形式推导，通过分部积分将导数项转化为边界积分和体积积分。边界处的数值通量需要特别处理，常用的有Lax-Friedrichs、Roe或HLLC等近似黎曼解算器。

时间离散通常采用显式或隐显混合格式，如Runge-Kutta方法。高阶时间积分方法与DG的空间离散相结合，可以实现高精度的时空模拟。稳定性分析表明，该方法需要满足CFL条件，且高阶格式通常具有更好的稳定性特性。

DG方法在Advec1D问题中的应用显示出其独特的优势：能准确捕捉激波和间断，保持局部守恒性，且易于实现hp自适应策略。通过调整多项式阶数和单元尺寸，可以在解光滑区域使用高阶近似，在间断附近自动降阶，有效平衡计算精度和效率。