利用同伦方法求解L1范数最小化的数值算法

资 源 简 介

利用同伦方法求解L1范数最小化的数值算法

详 情 说 明

同伦方法（Homotopy Method）是一种用于求解优化问题的数值算法，特别适用于处理L1范数最小化问题。它的核心思想是通过构造一个连续的参数化路径，将原始问题逐步转化为一个更容易求解的初始问题，从而避免直接处理非光滑的L1范数优化问题。

### 基本思路 问题描述：L1范数最小化问题通常形式化为求解一个稀疏解，例如在压缩感知或稀疏信号恢复中，目标是最小化||x||_1，同时满足约束条件Ax = b（或近似约束，如最小二乘形式）。 同伦构造：同伦方法引入一个参数λ，构建一个从简单问题（如L2范数优化）到原始L1问题的过渡形式： [ min_x frac{1}{2} |Ax - b|_2^2 + lambda |x|_1 ] 其中，λ从较大值逐渐减小至0（或目标阈值）。 路径跟踪：算法通过逐步调整λ，跟踪解的变化路径。在每一步，仅更新少数变量（即活跃集变化），从而高效计算新解。

### 算法特点 稀疏性保持：同伦方法天然适合稀疏优化，因为它在迭代过程中能自动识别和调整非零变量。 计算高效：相比直接求解L1问题（如线性规划），路径跟踪策略降低了计算复杂度，尤其适用于高维问题。 理论保证：在特定条件下（如受限等距性质RIP），同伦方法能精确恢复稀疏解。

### 应用场景 该算法广泛应用于压缩感知、特征选择（如Lasso回归）、图像重建等领域，尤其适合需要高维稀疏解的优化任务。