MATLAB椭圆型偏微分方程有限元求解器

资 源 简 介

本项目开发基于MATLAB的椭圆型偏微分方程有限元求解工具，支持泊松方程和扩散方程等常见模型。通过三角网格划分、刚度矩阵组装和边界条件处理，实现高效数值求解，适用于二维区域的计算仿真。

详 情 说 明

椭圆型偏微分方程有限元求解器

项目介绍

本项目开发了一个基于有限元方法的椭圆型偏微分方程数值求解器。该工具能够处理一般形式的椭圆型方程，包括泊松方程、扩散方程等常见类型。系统采用三角网格对二维计算区域进行离散化，实现了完整的有限元求解流程，涵盖网格生成、刚度矩阵组装、边界条件处理以及高效线性方程组求解等核心功能。

功能特性

• 通用方程支持：可求解各类椭圆型偏微分方程，支持自定义扩散系数和源项
• 灵活区域定义：支持任意二维多边形计算区域的几何定义
• 完备边界处理：实现狄利克雷边界条件和诺依曼边界条件的精确处理
• 自适应网格划分：提供网格密度控制和最大单元尺寸参数设置
• 高效数值求解：采用预处理共轭梯度法求解大型稀疏线性系统
• 丰富输出结果：提供数值解、网格信息、收敛性分析和误差估计
• 可视化支持：生成解的等高线图和三维曲面分布图

使用方法

输入参数配置

1. 方程参数设置：定义扩散系数函数和源项函数
2. 计算区域定义：指定二维多边形区域的顶点坐标
3. 边界条件指定：设置各边界段的边界类型和相应数值
4. 网格参数调整：控制最大单元尺寸和网格密度
5. 求解器参数配置：设定收敛容差和最大迭代次数

执行求解

运行主程序后，系统将自动完成以下流程：

• 根据区域几何生成三角网格
• 组装总体刚度矩阵和载荷向量
• 施加边界条件
• 求解线性方程组获得数值解
• 进行误差分析和结果可视化

结果获取

求解完成后，用户可获得：

• 节点处的数值解近似值
• 网格划分详细信息
• 收敛历程数据
• 误差估计结果
• 解分布的可视化图形

系统要求

• MATLAB R2018a 或更高版本
• 推荐内存：8GB 以上（用于处理大规模网格）
• 必备工具箱：MATLAB 基础安装（无需额外工具箱）

文件说明

主程序文件整合了有限元求解的核心流程，实现了从问题定义到结果输出的完整计算链。具体包含网格生成模块，负责将计算区域离散为三角单元；有限元组装模块，构建刚度矩阵和载荷向量；边界条件处理模块，确保解满足给定约束；线性求解器模块，采用迭代方法计算数值解；后处理模块，提供解的可视化和误差分析功能。该文件作为整个求解系统的调度中心，协调各计算环节的顺序执行和数据传递。