MATLAB GMRES稀疏线性方程组高效求解器

资 源 简 介

本项目基于GMRES（广义最小残差法），专用于求解大规模稀疏线性方程组Ax=b。通过Arnoldi迭代构建Krylov子空间正交基，优化病态矩阵计算效率，适用于工程仿真和科学计算场景。

详 情 说 明

大型稀疏线性方程组广义最小残差求解器

项目介绍

本项目是基于GMRES（广义最小残差法）算法开发的大型稀疏线性方程组求解器，专门用于求解形式为Ax=b的大规模线性系统。该算法通过构建Krylov子空间，利用Arnoldi正交化过程生成正交基，并在该子空间中寻找最小残差解。特别适用于病态矩阵、非对称矩阵等难以用传统直接法（如LU分解）求解的问题场景。

功能特性

• 高效求解能力：采用Krylov子空间方法，避免显式矩阵求逆，适合大规模稀疏矩阵
• 鲁棒性强：可处理非对称矩阵和病态系统，收敛性能稳定
• 灵活参数配置：支持自定义最大迭代次数、收敛容差和重启参数
• 预处理支持：可集成各种预处理技术改善收敛性
• 收敛监控：提供详细的残差历史记录和收敛性分析功能
• 完整输出信息：返回解向量、收敛标志、相对残差、迭代次数等全面结果

使用方法

输入参数

1. 系数矩阵A：n×n维稀疏矩阵或密集矩阵（double类型）
2. 右端向量b：n×1维列向量
3. 初始猜测x0：n×1维列向量（可选，默认为零向量）
4. 最大迭代次数：正整数（默认300）
5. 收敛容差：正浮点数（默认1e-6）
6. 重启参数：正整数（默认30，每30次迭代重启算法以控制内存使用）

输出结果

1. 解向量x：n×1维列向量，满足Ax≈b
2. 收敛标志flag：0（收敛）、1（最大迭代次数耗尽）、2（算法停滞）
3. 相对残差residual：最后一次迭代的相对残差范数
4. 迭代次数iter：实际迭代次数
5. 残差历史resvec：每次迭代的相对残差范数记录，可用于收敛分析

调用示例

% 定义系数矩阵A和右端向量b A = sprand(1000, 1000, 0.01) + speye(1000); b = rand(1000, 1);

% 使用默认参数求解 [x, flag, residual, iter, resvec] = gmres_solver(A, b);

% 自定义参数求解 [x, flag, residual, iter, resvec] = gmres_solver(A, b, x0, 500, 1e-8, 50);

系统要求

• MATLAB R2016a或更高版本
• 支持稀疏矩阵运算的MATLAB环境
• 建议内存：至少4GB（根据问题规模可调整）

文件说明

主程序文件实现了GMRES算法的核心求解流程，包括Krylov子空间的构建、Arnoldi正交化过程的执行、最小二乘问题的求解以及收敛性判断。该文件整合了完整的迭代控制逻辑，能够处理不同的输入配置情况，并提供了残差监控和结果输出功能。同时实现了算法的重启机制以平衡计算精度与内存消耗，确保了对大规模问题的求解能力。