切换线性系统稳定性分析与控制仿真平台

资 源 简 介

本项目专注于切换动力学系统的建模、稳定性验证及控制器设计。系统核心功能包含两个主要模块：首先是基于线性矩阵不等式（LMI）的判据求解模块，利用Lyapunov稳定性理论，针对切换系统设计共同Lyapunov函数或依赖于模态的Lyapunov函数，通过调用MATLAB LMI工具箱中的feasp或mincx求解器，自动搜索能够保证系统在特定切换规则下全局渐近稳定的正定矩阵解。其次是动态仿真模块，该模块支持用户自定义多个子系统的状态空间矩阵，并能模拟在任意切换信号、给定周期切换或状态相关切换策略下的系统运行轨

详 情 说 明

切换线性系统稳定性分析与控制MATLAB仿真平台

本项目是一个基于MATLAB开发的综合性仿真工具，专门用于切换线性系统的稳定性分析、状态反馈控制器设计以及动态过程模拟。平台通过集成线性矩阵不等式（LMI）求解技术与高精度数值仿真算法，为工程技术人员研究复杂多模态系统提供了直观且严谨的验证手段。

项目介绍

切换线性系统由一系列线性子系统及其遵循的切换规则组成，广泛应用于航空航天、电力电子和网络化控制领域。本项目通过寻找共同Lyapunov函数（Common Lyapunov Function, CLF），解决了一组受控子系统在特定切换策略下的全局渐近稳定问题。代码实现了从控制律综合、切换信号生成到闭环系统演化全流程的自动化处理，能够有效分析不稳定性模态如何通过合理的反馈控制和切换逻辑实现系统稳定。

功能特性

1. 自动化LMI控制器设计 平台实现了基于线性矩阵不等式（LMI）的控制器综合算法。通过求解Lyapunov不等式，能够同时计算出保证系统稳定的共同Lyapunov正定矩阵以及各个子系统的状态反馈增益矩阵，确保闭环切换系统在任意切换频率下具备稳定性。

2. 多元化切换策略模拟 仿真环境内置了三种具有代表性的切换逻辑：

• 随机切换：模拟系统受到随机外部扰动或非确定性变换时的运行状态。
• 周期切换：模拟具有固定时钟频率的同步切换场景。
• 状态相关切换：利用Lyapunov下降量最大化原理，动态选择最优模态，展示系统在受控切换下的快速收敛性能。

3. 高精度动态仿真引擎 系统弃用了简单的欧拉法，采用了四阶龙格-库塔（Runge-Kutta 4th Order）数值积分算法进行状态迭代。这确保了在处理具有快速动态特性的切换系统时，轨迹模拟具有极高的数值精度和收敛可靠性。

4. 深度可视化分析 平台提供完整的结果图谱，包括状态变量的时间演化曲线、活跃模态的阶梯图信号以及共同Lyapunov能量函数的对数收敛曲线，直观展示系统的稳定性证据。

功能实现逻辑说明

第一阶段：系统参数与模型初始化 定义系统的状态维度与输入维度。程序预设了两个开环不稳定的子系统（$A_1, B_1$ 和 $A_2, B_2$），作为控制设计的基准对象，模拟实际工程中需要通过控制手段实现稳定的复杂系统。

第二阶段：基于LMI的稳定性判据求解 算法通过 MATLAB LMI 工具箱定义矩阵变量。针对协同稳定性要求，设置 $Q$ 为正定对称矩阵（$Q = P^{-1}$），并引入变量 $Y_i$ 将非线性的矩阵不等式线性化。核心约束条件为： $(A_i Q + B_i Y_i) + (A_i Q + B_i Y_i)^T < 0$ 程序调用 feasp 求解器搜索可行解。若 $t_{min} < 0$，则说明找到了共同Lyapunov函数，并反算出反馈增益 $K_1, K_2$。

第三阶段：时域仿真计算 设置仿真步长为 0.01s，总时长 10s。在每个时间步中，程序根据预设的切换策略（随机、周期或状态反馈）实时更新活跃模态。通过确定的模态矩阵构造闭环状态方程 $dot{x} = (A_i + B_i K_i)x$，并通过四阶龙格-库塔公式计算下一时刻的状态向量。

第四阶段：稳定性评估与展示 程序实时计算系统能量函数 $V(x) = x^T P x$ 的数值。仿真结束后，自动生成包含三组子图的图像窗口，展示状态收敛、信号切换及能量单调递减的过程，最后输出初始与终止能量的定量对比，验证控制器的有效性。

关键算法与实现细节分析

• LMI 变量映射技术：代码巧妙地应用了变量代换法（$Y = KQ$），将具有乘性干扰的非线性项转化为线性项，使复杂系统的反馈增益求解问题能在凸优化框架下通过 dec2mat 函数快速得出精确解。
• 鲁棒的数值积分：在切换点处，由于系统矩阵发生突变，普通求解器易产生误差。代码手动实现的 RK4 算法通过在单步内进行四次加权斜率采样，有效捕捉了模态切换瞬间的导数突变，保证了轨迹的平滑性。
• Lyapunov 下降率切换逻辑：在状态相关切换模式中，程序通过实时计算各子系统的 $V$ 函数变化率（即 $x^T P dot{x}$），选择能使能量下降最快的模态。这种贪婪策略是研究切换系统镇定问题的典型理论实现。

系统要求

• 软件版本：MATLAB R2016a 及以上版本。
• 必备工具箱：Robust Control Toolbox 或 LMI Control Toolbox。

使用方法

1. 打开 MATLAB 软件，将工作目录切换至本项目代码所在文件夹。
2. 在命令行窗口直接输入主程序名并回车。
3. 程序将首先在命令行输出 LMI 求解器的计算进度及得到的矩阵结果（P 矩阵及 K 增益）。
4. 计算完成后，程序会自动弹出仿真曲线窗口。
5. 如需测试不同的切换规则，可在代码中修改 switch_mode 参数（1、2 或 3）后重新运行。