基于LPP算法的高维数据非线性降维与特征提取系统

资 源 简 介

本项目主要实现了局部保留投影（Locality Preserving Projections, LPP）算法，这是一种专门用于处理高维数据的降维技术，属于流形学习中的关键算法。LPP的核心目标是寻找一种线性投影方式，使得在高维空间中相邻的数据点在投影后的低维空间中依然保持较近的距离，从而有效保留数据的局部拓扑结构。该项目功能涵盖了从原始高维数据输入到最终特征提取的全流程：首先通过K近邻算法或Epsilon邻域法构建样本数据的邻接图；其次根据热核权值函数或简单权值法计算邻接矩阵，量化样本间的相似性；接着利用

详 情 说 明

基于LPP算法的高维数据非线性降维与特征提取系统

项目介绍

本项目实现了一种基于局部保留投影（Locality Preserving Projections, LPP）算法的高维数据处理系统。LPP作为一种流形学习算法，旨在通过线性投影的方式，在降低数据维度的同时，最大限度地保留原始高维空间中样本点之间的局部邻域关系。与传统的全局降维方法（如PCA）不同，LPP能够捕捉隐含在数据内部的非线性流形结构，使其在处理复杂特征（如人脸、传感器信号等）时具有显著优势。

功能特性

1. 多种流形数据模拟：系统内置了Swiss Roll（瑞士卷）和S-Curve（S型曲线）两种经典的非线性高维流形数据生成器，用于验证降维效果。
2. 灵活的邻径构建：支持通过K近邻（K-Nearest Neighbors）算法识别样本点的局部组织结构。
3. 热核权值映射：利用热核权值函数（Heat Kernel）计算样本间的相似度，精确量化局部连接强度。
4. 稳定求解机制：针对广义特征值求解过程中可能出现的数值不稳定问题，系统引入了正则化处理。
5. 多维度对比分析：同步实现标准PCA算法作为基准，对比不同算法在保持数据拓扑结构方面的差异。
6. 全方位可视化：提供原始高维空间、LPP降维结果、PCA降维结果以及特征值分布的直观图形展示。

系统要求

1. 软件环境：MATLAB 2016b 或更高版本。
2. 基础库：需安装MATLAB Statistics and Machine Learning Toolbox（用于距离计算和矩阵处理）。

系统实现逻辑与流程

系统在内部逻辑上严格遵循以下步骤：

1. 参数初始化：定义样本点规模为1000个，目标降维维度为2维，设置K近邻数为10，热核参数sigma为1.0。
2. 数据准备：生成选定类型的非线性流形数据，并对原始数据执行中心化预处理。
3. 邻接图构建：计算样本间的欧氏距离矩阵，为每个点搜索最近的10个邻居。
4. 权重矩阵计算：根据热核权值公式 $W_{ij} = exp(-d_{ij}^2 / t)$ 计算权重，并确保权重矩阵的对称性。
5. 拉普拉斯算子构建：计算度矩阵 $D$（对角线为权重行之和）和拉普拉斯矩阵 $L = D - W$。
6. 广义特征值方程构建：利用原始中心化数据矩阵 $X$ 构造矩阵 $XLX^T$ 和 $XDX^T$。
7. 数值稳定性优化：在 $XDX^T$ 矩阵上添加 $1e-6$ 的微小正则化项，防止在求解特征值时出现矩阵奇异导致的计算失败。
8. 投影基选取：求解广义特征值问题，并按特征值升序排列，选取前两个最小非零特征值对应的特征向量组成投影矩阵。
9. 特征空间映射：将高维数据映射到由最优投影向量张起的低维子空间中。

关键函数与实现细节

1. 非线性流形生成函数：

该函数通过数学参数方程构建高维空间中的曲面。瑞士卷数据通过极坐标系下的旋转角度和高度生成，S型曲线通过正弦和正负号函数控制方向分布，为降维算法提供了具有挑战性的非线性测试集。

1. 局部权重计算逻辑：

在构建权重矩阵 $W$ 时，系统仅对互为邻居的点赋予权重，非邻居点的权重设为0。这种稀疏性处理保证了算法对局部结构的聚焦。

1. LPP核心优化目标：

系统实现的本质是寻找一个投影向量 $a$，使得在低维空间中，保持原始邻近样本点间的距离加权平方和最小化。这一数学问题在代码中被高效地转化为求解广义特征值问题。

1. 结果可视化模块：

系统生成三联装对比图。第一幅为带颜色标签的原始3D流形；第二幅为LPP降维后的2D散点图；第三幅为PCA对比图。此外，还会绘制前20个广义特征值的分布曲线，帮助用户分析数据的主成分贡献和信息压缩效率。

实验结论分析

根据系统的内部逻辑分析，LPP在处理具有明显流形结构的数据时，能够将原本“卷曲”的高维平面平整地展开到低维空间，使得不同标签的数据点依然保持连续性。相比之下，传统的PCA由于只考虑全局方差最大化，往往会将流形的叠加层投影在一起，导致局部拓扑信息的丢失。