噪声干扰下的递归最小二乘系统辨识仿真

资 源 简 介

本项目旨在MATLAB环境下开发一套健壮的递归最小二乘（RLS）算法，用于在存在随机噪声干扰的情况下对动态系统进行实时参数辨识。该项目的核心功能是构建一个能够处理在线数据流的估计器，通过自适应地更新系统参数来逼近真实的物理模型。 项目详细实现了针对ARX（自回归外生）等典型离散系统的参数跟踪。为了模拟真实的工程环境，程序在系统输出端注入了受控的高斯白噪声或有色噪声，以此验证算法在非理想条件下的鲁棒性。实现过程中，项目包含了矩阵反转定理的应用，通过递归方式避免了大规模矩阵求逆的计算负担，显著提升了运算效率。

详 情 说 明

基于噪声干扰的MATLAB递归最小二乘(RLS)系统辨识

项目介绍

本课题旨在提供一个完整的、基于MATLAB环境实现的自适应系统辨识仿真框架。通过使用带遗忘因子的递归最小二乘（FF-RLS）算法，该程序能够在线估计受噪声干扰的动态系统参数。项目模拟了典型的工程应用场景，即在无法直接获取系统内部物理参数的情况下，通过分析输入激励信号和含有观测噪声的输出信号，实时重建数学模型。

功能特性

• 实时递归估计：采用递归形式更新参数，无需在每次迭代中进行大规模矩阵求逆，极大地降低了计算复杂度。
• 遗忘因子机制：引入可调遗忘因子，平衡了算法的收敛速度与稳态精度，并赋予程序追踪时变参数的能力。
• 鲁棒噪声模拟：支持通过信噪比（SNR）配置受控的高斯白噪声，用以验证算法在不同环境下的抗干扰性能。
• 高质量激励生成：自动生成宽带伪随机二进制序列（PRBS）作为输入，确保系统模态被充分激发。
• 多维度性能评估：通过参数误差范数、均方误差（MSE）以及输出拟合残差等多个指标全面评价辨识效果。
• 自动化可视化：自动生成包含参数收敛曲线、系统输出对比、创新（Innovation）残差及误差对数轨迹的综合图表。

使用方法

1. 环境准备：启动 MATLAB 环境（建议 R2016b 及以上版本）。
2. 配置参数：根据实际需求，在脚本开头修改系统真实系数、仿真步数、信噪比（SNR）或遗忘因子。
3. 运行仿真：执行主脚本，程序将开始执行递归迭代计算。
4. 结果查看：

* 观察命令行窗口输出的辨识值与真实值对比表以及相对误差。 * 分析弹出的仿真图形界面，评估参数在迭代过程中的收敛稳定性和模型预测性能。

系统要求

• 软件环境：MATLAB
• 硬件要求：标准通用型计算机，具备基础算力即可满足实时递归计算需求。

实现逻辑说明

项目核心逻辑严格遵循自适应过滤理论，具体步骤如下：

1. 对象模型定义：程序构建了一个二阶ARX（自回归外生）模型。系统的传递函数由两部分组成：自回归部分 $A(z)$ 和外生输入部分 $B(z)$，总计待辨识参数为4个。
2. 信号合成：

* 利用随机数符号化技术生成具有持续激励特性的PRBS信号。 * 通过差分方程迭代计算系统的理论输出。 * 根据预设的信噪比，计算噪声功率并将其叠加到系统输出端，模拟传感器测量误差。

1. 算法初始化：设置参数估计量的初始值为零矢量。关键在于将协方差矩阵 $P$ 初始化为一个极大的单位矩阵（如 $10^6 I$），这代表了对参数初始值的极低置信度，有利于算法在初始阶段快速调整方向。
2. 递归循环更新：

* 构造矢量：将历史输出和历史输入组合成当前时刻的数据向量。 * 增益更新：根据当前的协方差和输入向量计算增益向量 $K$。 * 创新计算：利用前一时刻的参数预测当前输出，并计算预测误差（即创新）。 * 参数修正：基于增益向量和预测误差对参数估计值进行校正。 * 协方差演化：应用矩阵反转定理更新协方差矩阵，同时除以遗忘因子以实现对旧数据的衰减。

1. 误差分析与对比：递归完成后，计算所有样本点的参数误差范数，并使用最终确定的参数对原系统进行重新仿真，生成模型预测输出序列。

关键算法与细节分析

• 矩阵反转定理的应用：这是本项目高效运行的核心。通过该定理，复杂的矩阵求逆运算被转化为向量积和标量除法。这使得 RLS 复现了批处理最小二乘的统计特性，但计算开销却呈线性增长。
• 遗忘因子 ($lambda$) 的权衡：代码中默认为 0.98。$lambda$ 越小，算法对参数变化的追踪速度越快，但对噪声的敏感度也会增加，导致稳态波动；$lambda$ 接近 1 时，平滑效果好，辨识精度高，但响应较慢。
• 输入信号的持续激励条件：项目使用类似 PRBS 的信号而非简单阶跃信号，是为了确保输入信号在频谱上足够丰富，从而使协方差矩阵保持正定，避免辨识退化。
• ARX 模型的符号约定：在构造数据矢量时，由于模型方程通常表示为 $y(k) + a_1 y(k-1) + dots = b_1 u(k-1) + dots$，代码正确地在数据矢量的负反馈项中使用了负号，确保了辨识系数与物理模型的一致性。