流形学习与高维数据降维工具箱

资 源 简 介

本项目是一个专门用于高维数据降维与非线性特征提取的MATLAB综合平台，集成了多种经典的流形学习算法，包括线性降维方法PCA（主成分分析）和MDS（多维尺度变换），以及具有代表性的非线性降维算法ISOMAP（等距映射）和LLE（局部线性嵌入）。该项目的核心目标是揭示嵌入在高维观测空间中的低维流形结构，通过数学建模将复杂的高维数据映射到低维空间（如2D或3D），从而实现数据的可视化、分类和特征识别。 在实现细节上，项目通过KNN算法构建近邻图，利用Dijkstra算法计算测地线距离以实现全局几何结构的保持（

详 情 说 明

MATLAB流形学习算法综合工具箱项目文档

项目介绍

本项目是一个基于MATLAB开发的高维数据降维与非线性特征提取平台。其核心目标是处理嵌入在高维观测空间中的复杂数据，通过识别其内在的低维流形结构，将数据映射到低维空间（如2D平面）以进行可视化和结构分析。该工具箱集成了从经典的线性降维技术到先进的非线性流形学习算法，能够有效揭示非线性数据集（如瑞士卷）的真实几何分布。

功能特性

1. 合成流形生成：自动生成具有非线性螺旋结构的瑞士卷（Swiss Roll）标准测试数据集。
2. 线性降维方案：提供主成分分析（PCA）与多维尺度变换（MDS）两种经典线性方法。
3. 非线性流形学习：实现了等距映射（ISOMAP）和局部线性嵌入（LLE）两种主流非线性降维算法。
4. 全局与局部拓扑保持：算法涵盖了从全局测地线距离保持（ISOMAP）到局部线性重建（LLE）的多种建模视角。
5. 综合可视化对比：主程序自动生成对比图表，展示原始高维分布、各种降维算法的结果以及局部邻域图的拓扑架构。

使用方法

1. 环境准备：确保已安装MATLAB R2016b或更高版本，并具备Statistics and Machine Learning Toolbox（用于距离计算）。
2. 参数配置：在主程序起始位置，用户可根据需要修改采样点数（N）、最近邻点数（K）以及降维后的目标维度（target_dim）。
3. 运行程序：在MATLAB命令行窗口执行主函数，程序将按顺序执行合成数据生成、四种算法降维计算以及最终的结果可视化。
4. 结果观察：程序将弹出一个包含六个子图的窗口，分别显示原始数据、四种降维算法的投影效果以及数据点的局部邻域连接关系。

系统要求

1. 软件环境：MATLAB R2016b 及以上版本。
2. 硬件要求：由于ISOMAP算法由于涉及三层嵌套循环计算全局最短路径，建议内存不低于8GB，对于大规模点集（N > 2000）需注意计算时间。

核心功能与程序逻辑说明

主程序按照流形学习的标准流程设计，采用模块化函数实现各个算法。以下是主要的功能逻辑：

1. 瑞士卷生成逻辑

程序通过参数方程 $x = t cdot cos(t), y = height, z = t cdot sin(t)$ 生成数据。其中 $t$ 的取值决定了螺旋的弯曲程度，生成结果包含了三维坐标信息及对应的连续颜色标签，用于后续验证降维效果是否保持了颜色的连续性。

1. PCA 降维逻辑

通过对去中心化后的样本协方差矩阵进行特征值分解。程序提取前 $d$ 个最大特征值对应的特征向量构成投影矩阵，将高维数据直接映射到方差最大的正交子空间中。

1. MDS 降维逻辑

基于欧氏距离保持原则。程序首先计算点对之间的欧氏距离平方矩阵，通过中心矩阵 $H$ 进行双中心化处理得到内积矩阵 $B$。最后通过对 $B$ 进行特征值分解，取前 $d$ 个主特征分量重构坐标。

1. ISOMAP 降维逻辑

该方法旨在保持流形的测地线距离。其逻辑包括：

• 邻域图构建：利用K近邻（KNN）算法，仅保留邻居点间的距离，其余距离初始化为无穷大。
• 全局最短路径计算：使用 Floyd-Warshall 算法迭代更新所有点对之间的最短路径，以此模拟流形表面的测地线距离。
• 鲁棒性处理：对于图中不连通的部分，程序采用最大非无穷距离的两倍进行填充。
• MDS嵌入：对求得的测地线距离矩阵应用MDS算法实现低维映射。

1. LLE 降维逻辑

该方法侧重于保持局部线性几何特征。其逻辑包括：

• 局部寻优：为每个采样点寻找其K个最近邻点。
• 权重重构：计算局部协方差矩阵（Gram矩阵），并引入正则化项（trace的$10^{-3}$倍）以防止矩阵奇异。求解线性方程组得到局部重建权重，使每个点都能通过其邻域点的线性组合近似表示，且权重之和为1。
• 特征嵌入：构建对称矩阵 $M = (I-W)^T(I-W)$。通过对 $M$ 进行特征分解，舍弃对应特征值接近0的常数向量，选取其后的 $d$ 个最小非零特征值对应的特征向量作为嵌入坐标。

1. 可视化分析逻辑

程序通过图形化界面输出降维对比：

• 左上角展示原始3D流形。
• 中间展示线性方法（PCA, MDS）的结果，通常由于无法处理非线性弯曲，会导致数据重叠。
• 左下及中间下方展示非线性方法（ISOMAP, LLE）的结果，通常能将螺旋结构成功“展开”为2D平面。
• 右下角展示局部邻域的连接拓扑，通过抽样绘制点与邻域间的连线，直观呈现算法感知的空间邻接关系。