数学建模图论算法集成工具箱

资 源 简 介

本项目是一个专门为数学建模竞赛设计的MATLAB集成环境，旨在高效解决复杂的网络优化与图论问题。项目深度集成了四种经典算法：针对最短路径问题的Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法，以及针对最小生成树问题的Prim算法和Kruskal算法。 在最短路径模块中，Dijkstra算法利用优先队列优化实现高效的单源路径搜索，适用于道路交通网络等大型稀疏图；Floyd算法则利用动态规划思想求解全局任意两点间的最短权值，能够处理包含负权边但无负权回路的复杂拓扑结构。 在最小生成树模块中，Prim算法

详 情 说 明

数学建模图论工具箱：最短路径与最小生成树算法集成平台

项目介绍

本项目是一个专为数学建模竞赛设计的MATLAB集成环境，旨在高效解决复杂的网络优化与图论问题。平台深度集成了最短路径（Dijkstra、Floyd-Warshall）与最小生成树（Prim、Kruskal）四大经典算法，涵盖了从单源路径搜索到全源拓扑分析，再到成本最优覆盖提取的全方位功能。

功能特性

1. 双重最短路径求解：同时支持解决特定两点间的路径优化问题以及全图任意节点间的全局距离评估。
2. 双重最小生成树构建：针对稠密图与稀疏图分别提供优化算法，满足不同规模工程施工成本的最优规划。
3. 多维度数据输入：支持基于地理位置信息的坐标矩阵输入，并自动生成对应的邻接矩阵表述。
4. 动态可视化引擎：内置四分屏显示方案，能够实时高亮显示算法搜索结果，将抽象的矩阵运算转化为直观的几何拓扑图。
5. 并查集技术优化：在Kruskal算法中实现了路径压缩的并查集逻辑，大幅提升了在大规模节点下的环路检测与搜索效率。

核心功能实现逻辑

#### 1. 模拟数据初始化 系统内置了包含8个节点的典型复杂网络。节点通过XY坐标定位，边权通过邻接矩阵定义。程序会自动执行无向图的对称化处理，确保算法输入数据的严谨性。

#### 2. 最短路径模块

• Dijkstra算法：采用贪心策略，通过循环寻找当前未访问节点中距离源点最近的顶点。利用父节点回溯机制，不仅能计算最短距离（1号至8号节点），更能在可视化子图中精确重绘最优路径。
• Floyd-Warshall算法：基于动态规划原理，通过三层嵌套循环迭代更新距离矩阵。该算法逻辑能够处理全局路径，并生成热力分布图（Heatmap），直观反映节点间的通达程度。

#### 3. 最小生成树模块

• Prim算法：从起始节点开始，逐次将距离当前生成树集合最近的节点纳入，适用于节点间连接紧密的场景。
• Kruskal算法：采用边集择优策略。首先对全图所有边按权值升序排列，利用内部定义的并查集（find_set）检测是否形成环路。该算法在子图中以虚线高亮形式展现，体现了边优先的构建思路。

#### 4. 可视化引擎逻辑

• 基础底图绘制：统一生成淡灰色虚线背景，标注节点编号（V1-V8）及其坐标位置。
• 结果动态渲染：

* Dijkstra子图：以红色粗实线标注1->8的最短路径。 * Floyd子图：以热通量图（Imagesc）展示全源距离偏移。 * Prim子图：以绿色实线展示基于节点扩展生成的树结构。 * Kruskal子图：以紫色虚线展示基于边排列生成的树结构。

关键函数与细节分析

• 最短路径查找：算法利用 min(dist + visited * 1e12) 技巧规避已访问节点，模拟优先队列的选取行为。
• 并查集实现：Kruskal内部定义了递归形式的 find_set 函数，并在递归过程中实现路径压缩，确保合并操作的效率。
• 绘图封装：通过统一的底图绘制函数，实现了坐标映射与逻辑拓扑的标准化展现。

使用方法

1. 参数配置：在代码初始化区域修改 coords 矩阵定义节点坐标，修改 adj 矩阵定义边的连通性与权重。
2. 源点设置：调整 source_node 与 target_node 变量，以计算不同起点和终点间的路径。
3. 执行计算：运行脚本后，MATLAB控制台将实时输出各算法的计算报告，包括最短路径权重、路径序列及生成树总成本。
4. 结果查阅：程序会自动弹出可视化窗口，用户可对比四个子图中不同算法的行为差异。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 依赖项：无需额外工具箱，使用MATLAB基础函数库实现核心算法逻辑。
• 硬件建议：由于包含图形渲染，建议配置支持硬件加速的显卡以获得更流畅的可视化效果。