系统辨识典型算法实现与性能评估

资 源 简 介

本项目通过MATLAB软件环境，完整实现了四种主流的系统辨识算法，旨在解决离散系统在不同噪声环境下的参数估计问题。 最小二乘递推算法（RLS）实现了对系统参数的在线实时跟踪，通过不断修正增益矩阵和协方差矩阵，使模型能够在每个采样时刻自动更新参数估计，适用于实时控制系统。 辅助变量法（IV）专门用于解决当观测噪声与系统输入输出数据相关时普通最小二乘法产生的估计偏倚问题，通过构建与噪声正交的辅助变量，确保了参数估计的一致性和无偏性。 增广最小二乘法（RELS）通过扩展辨识模型的维度，将随机噪声的数学模型纳入辨

详 情 说 明

MATLAB系统辨识典型算法实现与性能评估

项目介绍

本项目是一个专门针对离散动态系统参数估计的MATLAB仿真平台。其核心目标是通过四种经典的系统辨识算法——递推最小二乘法（RLS）、辅助变量法（IV）、增广递推最小二乘法（RELS）以及偏差补偿法（BCM），解决在不同噪声干扰环境下的系统建模问题。

项目通过构建二阶线性系统模型，模拟了从理想无噪环境到复杂有色噪声环境下的系统响应，并提供了完整的算法性能对比工具。这不仅涵盖了在线实时参数跟踪的实现，也包含了针对非独立噪声引起的估计偏倚问题的优化方案，是研究系统辨识理论与工程应用的典型实例。

功能特性

1. 多算法并行评估：在同一脚本中集成了RLS、IV、RELS和BCM四种算法，支持对同一受控对象的参数估计分析。
2. 复杂噪声环境模拟：支持生成高斯白噪声以及通过滤波器生成的有色噪声，用于评估算法在不同随机干扰下的稳健性。
3. 实时轨迹追踪：动态记录每个采样时刻的参数估计值，直观展现算法的收敛过程与速度。
4. 统计性能指标：自动计算各算法的相对误差（MSE相关）并生成详尽的参数对比表。
5. 数据可视化：提供参数收敛曲线、系统输出拟合曲线以及残差分布直方图。

使用方法

1. 环境配置：确保计算机上已安装MATLAB R2016b或更高版本。
2. 运行仿真：打开MATLAB软件，定位到项目所在目录，在命令行窗口输入主函数名称并回车。
3. 结果观察：运行结束后，系统将弹出辨识轨迹与拟合效果的对比图表，并在命令行输出各项参数的真值与各算法估计值的对照结果。
4. 参数调整：用户可手动修改源代码中的仿真长度L、信号强度或噪声方差，以观察算法在不同信噪比下的表现。

系统要求

1. 软件环境：MATLAB (推荐 R2018a 及以上版本)。
2. 工具箱需求：基本MATLAB环境即可运行，无需特殊的系统辨识工具箱。
3. 硬件要求：标准个人计算机，建议内存4GB以上。

算法实现逻辑说明

主逻辑按照以下流程顺序执行：

1. 系统参数初始化

定义二阶系统A(z)和B(z)的真值参数。其中a1=-1.5, a2=0.7，b1=1.0, b2=0.5。同时定义了用于RELS测试的噪声增广参数c1=-0.5, c2=0.3。

1. 信号与环境模拟

生成长度为1500点的随机输入序列u。通过差分方程生成三种输出：无噪声输出、含高斯白噪声的输出以及含二阶滑动平均（MA）模型有色噪声的输出。

1. 递推最小二乘算法（RLS）实现

利用递推公式更新增益向量K和协方差矩阵P。该部分针对白噪声干扰下的系统进行参数估计，通过不断的测量修正，使估计值逼近真值。

1. 辅助变量法（IV）实现

针对观测噪声与输入输出数据相关导致的偏倚问题，算法构建了一个基于前一次估计参数的辅助模型。使用辅助模型的输出ym构造辅助向量zeta，利用zeta与噪声的不相关性实现无偏估计。

1. 增广最小二乘法（RELS）实现

为了处理二阶有色噪声的影响，该算法将残差估计项纳入回归向量中。辨识维度从4维扩展到6维，同时对系统模型参数和噪声模型参数进行联合在线估计。

1. 偏差补偿法（BCM）实现

采用批处理思想。首先计算普通最小二乘估计值，然后通过残差分析估计噪声方差。最后利用推导出的偏差补偿公式，对协方差阵中受噪声影响的部分（y项对应项）进行数学修正，从而抵消辨识偏差。

1. 结果评估

程序计算各算法在仿真结束时刻的参数估计值与真值的范数误差。

关键算法与实现细节分析

1. 回归向量构造

在RLS和IV中，回归向量由过去的输出y和输入u组成。而在RELS中，回归向量被扩充，加入了历史残差epsilon，这使得模型能够感知并补偿有色噪声的规律。

1. 初始值设定

所有递推算法的初始协方差矩阵P均设定为10的6次方倍单位阵，这代表了初始时刻对参数的极度不确定性，有助于算法快速进入收敛状态。

1. 残差计算逻辑

在RELS中，残差项使用的是实时计算得到的当前估计误差，这种反馈机制是参数空间增广后能够正确收敛的关键。

1. 偏差补偿矩阵D

在BCM实现中，通过一个对角阵D精确指定了噪声影响的位置（仅对应输出项y的相关项），确保补偿计算只对受噪声污染的子空间起作用，保留了输入项u的精确信息。

1. 可视化分析

结果图中通过对比参数a1和b1的收敛轨迹，可以清晰观察到RLS在有色噪声下的偏倚现象，以及RELS和IV如何修正这一偏差并最终达到一致估计。