薛定谔方程求解与原子轨道三维电子云可视化系统

资 源 简 介

本项目通过MATLAB数值仿真技术实现氢原子及类氢离子薛定谔方程的精确求解，并对波函数、概率密度分布及电子云形态进行全方位的可视化展示。系统采用变量分离法处理球坐标系下的波动方程，通过计算关联拉盖尔多项式得到径向波函数，结合球谐函数描述角向分布，从而构建三维空间中的总波函数模型。 程序结构清晰，以main函数作为统一入口，模块化调用径向函数计算模块、角度分布计算模块及图形渲染模块。主要功能包括：能够自定义输入主量子数n、角量子数l及磁量子数m，满足s、p、d、f等各类轨道的模拟需求；支持绘制径向波函数曲线

详 情 说 明

基于MATLAB的氢原子轨道与电子云可视化系统

项目介绍

本项目是一个基于MATLAB开发的数值仿真工具，旨在通过解薛定谔方程来模拟氢原子及类氢离子的电子波函数分布。系统根据量子力学理论，利用变量分离法将波函数分解为径向部分和角向部分，通过数值计算展示原子轨道的空间形态、相位特征以及电子在空间中的概率分布趋势。

功能特性

1. 参数化物理模型：支持自定义主量子数 n、角量子数 l、磁量子数 m 以及原子序数 Z，能够模拟从基态到高能级的各类轨道（如 s, p, d, f 轨道）。
2. 径向特性分析：自动计算并绘制径向波函数 R(r) 及径向概率密度 P(r) = r^2|R(r)|^2 的曲线图。
3. 轨道相位可视化：通过三维等值面技术展示原子轨道的空间形态，并以不同颜色（红色与蓝色）区分波函数的正负相位，直观反映波函数的对称性与节面。
4. 电子云密度模拟：采用蒙特卡洛随机采样算法，根据概率密度函数的展布模拟电子在核外空间的分布概率，利用点集疏密还原电子云的物理意象。
5. 灵活的计算跨度：支持调节空间显示范围（以玻尔半径 a0 为单位）和三维网格分辨率，平衡计算精度与渲染速度。

使用方法

1. 在 MATLAB 环境中打开主程序脚本。
2. 在脚本开头的核心参数设置区域修改变量值：

- n：主量子数（n >= 1 的正整数） - l：角量子数（0 <= l < n 的整数） - m：磁量子数（|m| <= l 的整数） - Z：原子序数（氢原子为 1，氦离子为 2 等） - limit：空间显示的半跨度范围 - res：三维网格解析度，数值越高模型越精细但操作越卡顿

1. 直接运行脚本，系统将自动生成包含四个子图的交互式图形界面。

系统要求

• MATLAB R2016a 或更高版本。
• 操作系统支持 Windows、macOS 或 Linux。
• 无需額外工具箱，程序基于 MATLAB 内置函数（如 legendre, meshgrid, isosurface 等）开发。

实现逻辑与算法说明

程序遵循物理公式到数值网格转换的逻辑：

1. 空间网格构建

系统首先建立线性径向向量用于一维曲线绘制。随后使用 meshgrid 函数在直角坐标系下生成三维空间网格，并通过坐标变换公式将 (X, Y, Z) 转换为球坐标 (r, theta, phi)，其中加入了 eps 极小值处理以避免坐标原点的除零错误。

1. 径向波函数计算

计算模块依据类氢原子理论公式，利用关联拉盖尔多项式对径向部分进行求解。程序内部实现了一个级数展开算法来计算关联拉盖尔多项式，结合归一化系数、指数衰减项和幂函数项，得到精确的径向分布数据。

1. 球谐函数计算

利用 MATLAB 内置的 legendre 函数计算关联勒让德多项式，进一步结合方位角 phi 的复指数项和极角 theta 的归一化分量，构建出完整的角向波函数。

1. 物理量合成

总波函数由径向部分与角项部分相乘得到。概率密度则取波函数总值的模平方。

1. 渲染算法

• 等值面渲染：提取概率密度最大值的 10% 作为阈值，对波函数的实部进行正负相位提取，分别绘制正值等值面与负值等值面。
• 随机采样模拟：通过随机生成 15000 个空间坐标点，计算每一处点的概率密度，并与一个随机阈值进行比较（拒绝采样思想）。只有满足概率分布条件的点才会被保留并以散点形式绘制。

关键函数说明

• 径向计算模块：负责处理 rho 参数缩放、归一化常数计算及径向概率密度 r^2|R|^2 的生成。
• 关联拉盖尔级数模块：通过 k 从 0 到 p 的循环求和，计算特定阶数和次数的拉盖尔多项式，确保了在不调用专门工具箱的情况下实现复杂特殊函数的数值求解。
• 球谐函数处理模块：处理了 legendre 函数返回的多维数据，根据磁量子数 m 提取对应的多项式分支，并合并相位信息。
• 采样渲染模块：实现了从连续分布到离散点云的转化，增强了对电子云随机性特征的直观呈现。