CG共轭梯度法迭代解矩阵方程

资 源 简 介

CG共轭梯度法迭代解矩阵方程

详 情 说 明

CG共轭梯度法是一种高效的迭代算法，专门用于求解大型稀疏矩阵的线性方程组。该算法由Hestenes和Stiefel在1952年提出，因其在对称正定矩阵上的优异收敛性而广受欢迎。

CG法的核心思想是利用共轭方向的性质，使得每次迭代都能沿着最优的方向逼近解，从而减少计算量。相较于传统的直接解法（如高斯消元），CG法特别适合处理大规模稀疏矩阵问题，避免了存储完整矩阵所带来的内存开销。

在实际应用中，CG法通常用于数值模拟、有限元分析以及机器学习中的优化问题。它的优点在于仅需矩阵-向量乘法运算，无需显式计算矩阵的逆，这使得计算复杂度大幅降低。此外，CG法具备有限步收敛的特性，即在无舍入误差的情况下，最多经过n次迭代即可得到精确解（n为矩阵的维数）。

不过需要注意的是，CG法对矩阵的条件数较为敏感，如果矩阵严重病态，收敛速度会显著下降。为此，通常会引入预处理技术（如不完全Cholesky分解）来改善收敛性。