求解大型线性方程组的GMRES方法

资 源 简 介

求解大型线性方程组的GMRES方法

详 情 说 明

GMRES（广义最小残量法）是求解大型稀疏线性方程组的一种高效迭代算法，特别适用于非对称系数矩阵的情况。该方法由Yousef Saad和Martin H. Schultz于1986年提出，已成为科学计算领域的核心算法之一。

算法核心思想是通过在Krylov子空间中寻找使残量最小的解来逼近方程组的解。与传统的直接法相比，GMRES不需要存储完整的系数矩阵，只需矩阵向量乘积运算，这使得它能够处理内存无法容纳的超大规模问题。

实现过程主要包含三个关键步骤： 通过Arnoldi迭代构建Krylov子空间的正交基底 将原问题转化为最小二乘问题 利用Givens旋转进行上三角化求解

为提高收敛速度，通常会结合预条件技术对原始方程组进行变换。不完全LU分解、代数多重网格等预条件子常与GMRES配合使用。实际应用时需要注意重启策略的选择，这是平衡内存消耗和收敛特性的关键参数。

该算法在计算流体力学、电磁场模拟等领域有广泛应用，其变体如灵活GMRES(FGMRES)还能处理变系数预条件的情况。理解Householder变换与Gram-Schmidt正交化的区别对于实现稳定的GMRES至关重要。