用于求解病态的线性方程组的共轭梯度法函数

资 源 简 介

用于求解病态的线性方程组的共轭梯度法函数

详 情 说 明

共轭梯度法是一种用于求解大型稀疏线性方程组的迭代算法，特别适合处理病态方程组。病态方程组是指系数矩阵条件数很大的线性系统，这类问题对数值扰动非常敏感，传统直接解法如高斯消元法往往难以获得满意结果。

该算法的核心思想是通过构造一系列共轭方向，将原问题转化为在这些方向上的优化问题。每次迭代都会沿着当前的最速下降方向进行搜索，同时保证新方向与前一个方向共轭。这种策略能有效避免"之"字形搜索路径，大幅提高收敛速度。

在Matlab实现中，算法通常包含以下几个关键步骤：初始化残差向量、计算步长因子、更新解向量和残差、计算新的共轭方向。实现时需要注意设置合理的收敛条件，通常基于残差的范数来判断。对于病态问题，还可以考虑引入预处理器来改善矩阵的条件数。

相比直接解法，共轭梯度法的优势在于内存效率高，特别适合处理大规模问题。它不需要存储整个系数矩阵，只需要实现矩阵-向量乘法操作。算法的收敛速度取决于系数矩阵的特征值分布，对于对称正定矩阵理论上最多n步即可收敛。