基于正交多项式的高效MATLAB数据拟合算法

资 源 简 介

该MATLAB项目实现了基于正交多项式的最小二乘拟合算法，通过构建正交基函数有效避免病态矩阵问题。支持高次多项式稳定拟合、自动阶数选择和批量数据处理，显著提升拟合精度和计算稳定性。

详 情 说 明

基于正交多项式的数据拟合优化算法项目

项目介绍

本项目实现了一种基于正交多项式的最小二乘拟合高效数值算法。通过构建正交多项式基函数来避免传统方法因高次拟合而产生的病态矩阵问题，能够稳定地计算高次拟合多项式，并自动选择最佳拟合阶数。算法具备良好的数值稳定性，适用于工程建模和科学计算领域中需要高精度数据拟合的场景。

功能特性

• 正交多项式构造：采用递归系数计算法构建正交多项式基函数
• 病态矩阵避免：通过正交基函数消除传统法方程组的数值不稳定性
• 自适应阶数选择：可根据误差容差自动确定最佳拟合多项式阶数
• 加权拟合支持：支持用户指定权重向量进行加权最小二乘拟合
• 批量数据处理：能够高效处理多组数据点的拟合任务
• 可视化分析：提供拟合效果可视化功能，直观展示原始数据与拟合曲线对比
• 完整指标输出：输出拟合多项式系数、决定系数R²、残差范数等统计指标

使用方法

基本调用格式

[coefficients, R2, residual_norm] = main(x_data, y_data)

完整参数调用

[coefficients, R2, residual_norm] = main(x_data, y_data, 'poly_order', n, 'weights', w, 'tolerance', tol)

参数说明

• x_data, y_data：二维数据点集的数值向量（长度必须≥2）
• poly_order（可选）：拟合多项式阶数（正整数），默认自动选择
• weights（可选）：权重向量（与数据同维），默认等权重
• tolerance（可选）：拟合误差容差（正数），用于自动阶数选择

输出结果

• coefficients：拟合多项式系数向量（按降幂排列）
• R2：决定系数，反映拟合优度
• residual_norm：残差向量的2-范数

可视化功能

算法自动生成拟合效果图，包含原始数据点散点图和拟合曲线对比，图形窗口标题显示主要拟合指标。

系统要求

• 运行环境：MATLAB R2018a或更高版本
• 内存需求：最低1GB可用内存（建议2GB以上用于大数据集处理）
• 工具箱依赖：仅需基础MATLAB安装，无需额外工具箱

文件说明

主程序文件实现了正交多项式基函数的递归构造算法，通过稳定数值方法计算正交系数，并以此为基础构建最小二乘拟合问题的解算框架。该文件包含自动阶数选择机制，能够根据预设误差阈值动态确定最优拟合次数，同时整合了数据可视化模块，可直接生成包含统计指标的拟合效果对比图。程序还提供了完整的异常处理机制，确保输入数据的有效性和算法执行的稳定性。