MATLAB共轭梯度法求解器：高效处理大型稀疏线性方程组

资 源 简 介

本项目实现了完整的共轭梯度法（CG）算法，专门用于求解大型稀疏对称正定线性方程组 Ax=b。通过迭代优化，算法以内存高效的方式快速收敛，适合科学计算与工程应用场景。

详 情 说 明

MATLAB共轭梯度法数值求解器

项目介绍

本项目基于MATLAB实现了共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的完整数值求解算法，专门用于高效求解大型稀疏对称正定线性方程组Ax=b。该算法采用迭代优化策略，通过共轭方向的构建和步长的精确计算，在有限步内收敛到理论解。实现中充分考虑了数值稳定性和计算效率，特别适用于病态矩阵和高维问题的求解场景。

功能特性

• 完整算法实现：标准的共轭梯度迭代流程，包含方向向量更新和最优步长计算
• 智能收敛控制：支持自定义容差阈值和最大迭代次数，提供收敛状态监测
• 性能分析工具：实时记录残差范数变化历程，输出计算时间统计
• 矩阵优化处理：同时支持稠密矩阵和稀疏矩阵格式，自动优化存储和计算效率
• 鲁棒性增强：内置数值稳定性控制机制，有效处理病态问题

使用方法

基本调用格式

[x, iter_count, converged, residual_history, elapsed_time] = main(A, b, x0, tol, max_iter);

参数说明

• A：n×n维对称正定系数矩阵（支持稠密或稀疏格式）
• b：n×1维右端向量
• x0：n×1维初始猜测解（可选参数，默认值为零向量）
• tol：收敛容差阈值（可选参数，默认值为1e-6）
• max_iter：最大迭代次数限制（可选参数，默认值为1000）

输出结果

• x：方程组的数值近似解
• iter_count：实际执行的迭代次数
• converged：收敛状态指示（true表示达到收敛条件）
• residual_history：每次迭代的残差范数记录
• elapsed_time：算法总执行时间（秒）

应用示例

% 生成测试问题 n = 1000; A = diag(1:n) + 0.01*randn(n); % 对称正定矩阵 b = randn(n,1);

% 调用求解器 [x, iter, flag, res_hist, time] = main(A, b, [], 1e-8, 500);

% 分析结果 fprintf('迭代次数: %d, 计算时间: %.4f秒n', iter, time); semilogy(res_hist); title('残差收敛历程');

系统要求

• MATLAB R2016b或更高版本
• 推荐内存容量：≥4GB（用于处理大型稀疏矩阵）
• 无需额外工具箱依赖

文件说明

主程序文件实现了共轭梯度法的核心求解逻辑，包括迭代过程的初始化设置、方向向量的共轭正交化处理、最优步长的解析计算、收敛条件的动态判断以及残差范数的实时监控。该文件还集成了算法性能分析模块，能够精确统计计算耗时并记录完整的收敛历程数据，同时通过稀疏矩阵识别机制自动优化存储和运算效率。