MATLAB | 基于修正Gram-Schmidt与特征值计算的矩阵分解工具包

资 源 简 介

本项目提供高效的矩阵数值计算工具，重点实现修正Gram-Schmidt正交化QR分解（提升数值稳定性）和特征值计算功能，适用于线性代数教学与科学计算领域。

详 情 说 明

基于修正Gram-Schmidt与特征值计算的矩阵分解工具包

项目介绍

本项目是一个综合性的矩阵数值计算工具包，专注于实现关键矩阵分解与特征值计算算法。工具包采用MATLAB语言开发，提供稳定可靠的QR分解、LU分解以及基于幂法的特征值计算功能。主要特色在于应用数值稳定性更优的修正Gram-Schmidt正交化方法，并自编实现了LU分解和特征值迭代算法，适用于科学计算、工程分析和教学演示等多种场景。

功能特性

• QR分解：采用修正Gram-Schmidt正交化方法，有效避免经典算法因浮点误差导致的数值不稳定问题
• LU分解：自编实现高效的LU分解算法，无需选主元即可将矩阵分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵U
• 特征值计算：

- 幂法：计算矩阵模最大的特征值及对应特征向量 - 反幂法：计算矩阵模最小的特征值及对应特征向量

• 验证与分析：提供完整的误差分析和收敛性验证，包括重构误差范数计算和迭代过程可视化

使用方法

基本调用

% QR分解示例 A = rand(5); [Q, R] = mgs_qr(A); % 修正Gram-Schmidt QR分解 error = norm(A - Q*R); % 验证分解精度

% LU分解示例 [L, U] = lu_decomposition(A); % 自编LU分解 error = norm(A - L*U); % 验证分解精度

% 特征值计算示例 [max_eig, max_vec] = power_method(A); % 幂法计算最大特征值 [min_eig, min_vec] = inverse_power_method(A); % 反幂法计算最小特征值

高级参数设置

% 设置特征值计算参数 options.max_iter = 2000; % 最大迭代次数 options.tolerance = 1e-12; % 收敛精度 options.initial_vector = rand(size(A,1),1); % 自定义初始向量

[max_eig, max_vec, history] = power_method(A, options);

系统要求

• MATLAB R2018a或更高版本
• 支持实数与复数矩阵运算
• 内存需求：取决于矩阵维度，建议至少4GB RAM用于较大规模计算

文件说明

main.m文件作为项目的主要入口和演示脚本，整合了全部核心算法的实现与测试功能。它具备矩阵QR分解、LU分解、特征值计算与验证的完整流程，通过预设测试案例展示各算法在不同类型矩阵上的适用性与精度。该文件同时包含详细的数值验证机制，可输出重构误差分析和特征值收敛特性曲线，为用户提供直观的性能评估参考。