通用高维混沌系统全利亚普诺夫指数谱计算工具

资 源 简 介

该项目旨在提供一个能够处理任意维度连续动力系统的全利亚普夫（Lyapunov）指数谱计算平台。其核心功能是利用数值积分与变分方程同步演化的原理，定量描述动力系统在相空间中初始微小偏差随时间的指数级演化速率。 该工具箱采用了经典的QR分解法结合切空间线性化技术，能够精确求解出系统在各维度上的发散或收缩率。针对用户需求，程序设计为高度模块化和通用化，仅通过修改输入的系统维度参数和雅可比矩阵定义，即可实现从三维混沌系统到四维超混沌乃至更高维度系统的自动适配。 在具体实现上，软件首先对原始非线性微分方程进行初值积

详 情 说 明

通用高维混沌系统利亚普夫指数谱计算工具箱

项目介绍

本项目是一个专门用于计算高维连续动力系统全利亚普夫（Lyapunov）指数谱的专业工具箱。它通过数值模拟动力系统状态演化的同时，同步跟踪切空间的线性偏差演化，从而精确地定量描述系统在相空间中不同维度上的指数级发散或收缩特性。该工具的核心优势在于其通用性和高度模块化设计，能够支持从基础的三维吸引子到复杂的四维及以上超混沌系统的快速分析。

功能特性

• 多维自适应性：系统设计不局限于特定维度，用户只需定义系统维度参数及相应的雅可比矩阵，即可实现对任意维数连续系统的计算。
• 高精度QR分解算法：采用经典的QR分解技术进行实时重正交化，有效解决了长时积分过程中切向量因指数级增长导致的数值溢出及基向量趋同问题，确保了指数谱计算的准确性。
• 自动状态属性识别：程序内置了基于利亚普夫指数符号特征的判定逻辑，能够自动识别系统处于稳定平衡点、周期/准周期运动、混沌还是超混沌状态。
• 分形维数估算：集成Kaplan-Yorke维数（$D_{ky}$）计算功能，从几何角度描述混沌吸引子的复杂程度。
• 实时演化可视化：提供利亚普夫指数随时间收敛过程的动态轨迹图，便于用户评估计算的收敛性。

系统要求

• 运行环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 依赖组件：MATLAB 数值积分器（如 ode45）、基础绘图库。

实现逻辑与功能细节

本项目代码严格遵循非线性动力学理论，其核心实现逻辑分为以下几个部分：

1. 参数初始化与增广系统构建

在计算开始前，程序定义系统的初始状态向量以及切空间的初始正交基（单位矩阵）。为了实现同步演化，程序将原始动力系统的非线性微分方程与描述切空间演化的变分方程（$dot{Phi} = J cdot Phi$）合并，构造出一个增广系统。

2. 核心积分循环

计算过程被划分为多个小的重正交化周期。在每个周期内：

• 采用五阶四级 Runge-Kutta 算法（ode45）对增广系统进行数值积分。
• 提取积分终点处的切空间转移矩阵。
• 关键处理：通过 QR 分解对经过演化后的基向量矩阵进行重正交化。分解得到的 $R$ 矩阵对角线元素的绝对值对数即代表了该周期内各维度的局部扩张或收缩量。
• 迭代更新：将分解得到的正交阵 $Q$ 作为下一个周期的初始基，循环往复。

3. 指数谱计算与累积

每一维度的利亚普夫指数定义为对应 $R$ 矩阵对角线元素对数随时间的平均值。通过长时间的演化累积，系统逐渐收敛至稳态值。其计算公式遵循： $LE_i = frac{1}{T} sum ln |R_{ii}|$

4. 关键分析函数

• 变分方程驱动：程序通过实时计算系统在当前坐标下的雅可比（Jacobian）矩阵，驱动变分方程的更新。这种方式比单纯计算轨道扰动更精确且具有更好的鲁棒性。
• Kaplan-Yorke 维数计算：利用排序后的利亚普夫指数谱，寻找累加和保持为正的最大索引，通过插值算法计算系统的 Lyapunov 维数，反映吸引子的分变维数特征。
• 系统耗散性评估：通过计算指数谱的总和，判定系统是否在相空间中收缩（总和为负表示具有耗散性）。
• 动力学状态分类：

- 超混沌：当系统存在两个或更多正的利亚普夫指数时触发。 - 混沌：当系统仅有一个正的利亚普夫指数时触发。 - 周期/准周期：当最大指数为零且其余为负时判定。 - 稳定平衡点：当所有指数均为负时判定。

使用方法

1. 定义系统方程：在程序指定的函数块中编写动力系统的常微分方程组。
2. 定义雅可比矩阵：根据系统方程，推导出对应的雅可比矩阵解析式并输入到雅可比矩阵函数块中。
3. 设置计算参数：在主程序中设定系统的维度（dim）、初始状态（x0）、总计算时间（t_end）及重正交化步长（t_step）。
4. 执行运行：运行主函数，程序将输出进度信息，并在完成后自动生成利亚普夫指数谱演化曲线图及详细的分析报告。

通过以上步骤，研究人员可以快速定量地评估复杂非线性系统的动力学行为，为工程分析和科学研究提供可靠的数值依据。