SOStools平方和多项式优化工具箱

资 源 简 介

SOStools是一款专门用于正多项式规划的MATLAB工具箱，其核心功能是处理和解决与平方和（Sum of Squares, SOS）相关的复杂数学优化问题。该工具箱通过引入代数几何中的平方和分解理论，将判定一个多项式是否在全局或局部非负的难题巧妙地转化为易于处理的半正定规划（Semidefinite Programming, SDP）问题。在实际应用中，它能够自动完成多项式到矩阵不等式的数学建模过程，并调用外部求解器如SeDuMi或SDPT3进行高效计算。其应用场景极其广泛，包括但不限于非线性系统的稳

详 情 说 明

SOStools：平方和优化工具箱模拟实现

项目介绍

本资源提供了一个基于 MATLAB 环境的平方和（Sum of Squares, SOS）优化工具的模拟实现。平方和优化是一种将复杂的多项式非负性判定问题转化为半正定规划（SDP）问题的数学技术。该工具箱模拟了 SOStools 的核心逻辑，通过代数几何中的 Gram 矩阵法，实现了多项式的 SOS 分解逻辑，并将其应用于非线性动力系统的 Lyapunov 稳定性分析。它为研究人员提供了一个直观的框架，用于理解如何利用数值优化手段解决符号计算中的多项式分解与证明难题。

功能特性

1. 多项式 SOS 分解判定：自动提取多项式特征，并尝试将其分解为若干个多项式平方和的形式，以此证明其全局非负性。
2. 符号化建模与转换：利用符号计算引擎，自动将多项式等式转化为 Gram 矩阵中的系数匹配方程。
3. 半正定约束求解：采用 L*L' 参数化方法确保矩阵的正定性，通过最小化残差的优化算法寻找满足条件的半正定矩阵。
4. 稳定性证明自动化：针对特定的非线性定常系统，自动构造 Lyapunov 候选函数，并推导其随时间的变化率（dV/dt）。
5. 多维度可视化：内置三维曲面绘图与相平面分析功能，直观展示多项式拓扑形状、Lyapunov 函数形态以及系统向量场分布。

实现逻辑说明

代码逻辑遵循标准的 SOS 规划流程，主要分为以下四个阶段：

1. 初始化与建模：

程序首先定义符号变量（x1, x2）和目标四次多项式。通过计算多项式的次数，确定基向量的阶数，为后续的矩阵分解奠定基础。

1. Gram 矩阵转换核心算法：

这是程序的核心逻辑。它将待检测多项式 p(x) 表述为 z(x)' * Q * z(x) 的形式。

• 基构造：根据多项式的度数生成相应的单项式基向量 z(x)。
• 系数提取：通过遍历多项式的指数项，提取出符号化的代数方程组。
• 优化求解：为了处理 SDP 中的半正定约束 Q >= 0，程序引入了一个辅助矩阵 L，令 Q = L * L'。通过优化目标函数来减小构造多项式与原多项式之间的系数残差。当残差低于预设阈值时，即认为找到了合法的 SOS 分解。

1. Lyapunov 稳定性综合分析：

该模块演示了 SOS 在自动化控制领域的应用。给定一个二阶非线性微分方程组，程序采用参数化的二次型函数作为 Lyapunov 候选函数。通过计算梯度算子与系统向量场的点积，获得时间导数多项式，从而验证系统在平衡点的稳定性。

1. 图形化结果展示：

最后，程序调用绘图引擎生成可视化图表。包括三维表面图以展示多项式的非负性特征，以及结合了向量场（Quiver）与等高线（Contour）的相轨迹图，验证 Lyapunov 函数对系统演化趋势的约束作用。

关键函数与算法细节分析

• SOS 分解函数：实现了多项式到矩阵不等式的映射。它利用符号运算自动化处理项的匹配，避免了手动推导 Gram 矩阵的繁琐过程。
• SDP 目标函数计算：这是一种模拟求解器逻辑。它将复杂的半正定约束通过矩阵乘法形式（L*L'）隐式表达，从而可以使用标准的数值优化器来处理原本属于凸优化领域的 SDP 问题。
• 系数提取与列表工具：负责处理符号表达式，将其拆解为系数列表和单项式项列表，以便在优化迭代中进行数值替换。
• Lyapunov 构造逻辑：虽然在演示中使用了简化的参数取值，但其核心逻辑展示了如何将“导数项为负”这一约束转化为 SOS 判定问题的过程。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2020b 或更高版本。
• 必备工具箱：

- Symbolic Math Toolbox（用于符号变量定义、多项式系数提取及求导）。 - Optimization Toolbox（用于执行 fminsearch 等数值优化计算）。

使用方法

1. 确保安装了上述必备工具箱。
2. 在 MATLAB 编辑器中打开主程序。
3. 直接运行脚本，控制台将实时输出 SOS 分解的判定结果及 Gram 矩阵的数值解。
4. 运行完成后，程序将自动弹出两个可视化窗口：

- 窗口 1 展示目标多项式与 Lyapunov 函数的三维几何形态。 - 窗口 2 展示非线性系统的向量场分布以及 Lyapunov 函数的等高线图，用于直观验证系统稳定性。