多项式回归与数据拟合分析平台

资 源 简 介

该项目提供了一套完整的基于多项式回归法的数值分析方案，旨在通过建立输入变量与输出变量之间的多项式数学模型来揭示数据的内在规律。其核心功能在于利用最小二乘法原理，在给定的函数空间内寻找一个最优的多项式，使得所有观测点到该曲线的垂直距离平方和达到最小。系统支持从一阶线性回归到高阶非线性回归的灵活切换，能够自动处理大规模实验数据的导入与预处理过程。在实现方法上，项目通过构建范德蒙德矩阵并结合MATLAB的高效矩阵运算能力，快速求解多项式各项系数。该工具广泛应用于科研实验的数据总结、工程问题的经验公式拟合、经济市

详 情 说 明

MATLAB多项式回归与数据拟合分析平台

项目介绍

本项目是一款基于MATLAB环境开发的数值分析工具，专门用于执行多项式回归与数学建模分析。通过应用最小二乘法原理，系统能够对含有噪声的数据集进行深度挖掘，寻找最优的数学描述。该平台不依赖于MATLAB的高级工具箱函数，而是通过底层的矩阵代数运算实现回归分析，从而更直观地展示了数学建模的逻辑过程。它集成了数据生成、预处理、参数拟合、模型评价及多维度可视化等功能，广泛适用于科研数据处理、工程公式拟合以及趋势分析等场景。

功能特性

• 数据模拟与预处理：内置模拟实验数据生成功能，能够构造高阶非线性函数关系并注入高斯白噪声，模拟真实的工程测量环境。
• 阶数灵活配置：支持用户自定义拟合阶数。系统可从简单的1阶线性回归自动平滑转换至高阶非线性回归分析。
• 矩阵运算核心：摒弃传统的库函数调用，通过构建范德蒙德矩阵（Vandermonde Matrix）并结合矩阵左除运算（），实现高效的最小二乘参数估计。
• 全方位精度评价：自动计算并输出模型精度的定量分析报告，包括判定系数（R-square）、调整后判定系数及均方根误差（RMSE）等关键统计指标。
• 动态可视化输出：系统生成包含拟合曲线、残差分布以及误差正态性分析的高分辨率图表，为定性评估模型效果提供直观参考。

实现逻辑与功能模块

系统在执行过程中严格遵循以下逻辑流程：

1. 环境初始化与数据构造：

系统首先执行内存清理。随后基于指定的数学函数 $y = 0.05x^3 - 0.2x^2 + 1.5x + 10$ 在 $[-10, 10]$ 范围内生成100个样本点，并添加强度为5.0的高斯随机噪声，以确保实验环境的真实性和可重复性。

1. 范德蒙德矩阵构建：

根据预设的拟合阶数，系统通过循环构建一个范德蒙德矩阵。该矩阵的每一列对应自变量的不同幂次，从而将多项式拟合问题转化为一个经典的线性代数超定方程组求解问题。

1. 最小二乘求解：

利用MATLAB的高级运算符，系统在后台对正规方程组进行求解。这种实现方式在数学上等效于最小化残差平方和，从而得到从高阶到低阶排列的最优回归系数。

1. 模型预测与评价指标计算：

通过得到的回归系数对原始数据进行预测计算。系统随后根据预测值与实际值的差异，依次推导： * SSE (误差平方和)：反映拟合值与真实值之间的总体偏离程度。 * SST (总平方和)：反映原始数据的离散性质。 * R² (判定系数)：衡量模型对数据波动的解释能力。 * Adj-R² (调整后判定系数)：消除了自变量个数对判定系数的影响，更精确地反映模型泛化能力。 * RMSE (均方根误差)：提供与响应变量同量纲的平均误差量级。

1. 数据可视化与可视化制图：

系统利用三段式布局进行综合展示： * 拟合趋势图：在原始散点之上，利用高分辨率插值绘制光滑的回归曲线。 * 残差分布图：通过针状图（Stem Plot）展示每个观测点的误差大小，用于识别异常点或模型偏差。 * 误差正态性分析：生成残差直方图并叠加理论正态分布曲线，用于验证回归分析的核心假设。

关键函数与算法细节

• Vandermonde构造算法：系统通过嵌套循环手动排列 $x^n, x^{n-1}, ldots, 1$ 的向量序列，这种构建方式保证了线性系统的严谨性。
• 矩阵左除运算符 ()：该算法是回归计算的核心，它利用QR分解等数值计算方法求解最小二乘问题，在处理多项式回归的潜在病态矩阵时表现出极高的数值稳定性。
• 统计报告生成：通过格式化I/O操作，将回归系数值及其对应的代数项进行一一对应展示。
• 正态分布包络拟合：根据残差的均值和标准差，通过高斯分布公式动态生成概率密度曲线，辅助评估噪声是否符合经典统计假设。

使用方法

1. 启动MATLAB开发环境。
2. 将包含主逻辑的代码文件置于当前工作路径。
3. 通过控制中心运行主程序脚本。
4. 程序将自动在命令行窗口打印详细的回归系数及精度评价指标。
5. 同步弹出可视化窗口，展示拟合曲线、残差及误差分布图。
6. 如需分析不同阶数的影响，可直接修改脚本中定义的拟合阶数变量。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016a 或更高版本。
• 硬件要求：标准桌面或便携式计算机，具备足够的内存进行矩阵运算。
• 依赖项：无需额外安装任何工具箱（如 Curve Fitting Toolbox），核心逻辑基于MATLAB标准语言实现。