高斯伪谱法最优控制轨迹优化仿真系统

资 源 简 介

本项目提供了一套完整的高斯伪谱法（Gauss Pseudospectral Method, GPM）MATLAB实现源代码，旨在解决复杂的非线性连续时间最优控制问题。系统通过将连续的时间区间离散化为一系列特定的高斯点（如Legendre-Gauss点），利用拉格朗日插值多项式对状态变量和控制变量进行全域逼近。该方法的核心在于通过构建微分矩阵将原始的微分方程动态约束转化为代数约束，同时利用高斯求等式将目标函数中的积分项转化为离散求和形式，从而将无穷维的最优控制问题转化为有限维的非线性规划（NLP）问题。 本

详 情 说 明

基于高斯伪谱法的最优控制轨迹优化仿真系统

项目介绍

本项目是一个基于高斯伪谱法（Gauss Pseudospectral Method, GPM）的MATLAB仿真系统，专门用于求解非线性连续时间最优控制问题。系统通过将连续的时间轨迹离散化为一组特定的Legendre-Gauss-Radau（LGR）点，将原始的微分方程约束、边界约束和性能指标转化为有限维的非线性规划（NLP）问题，最终利用成熟的数值优化算法进行高效求解。

功能特性

1. 全周期离散化建模：实现了从连续时间到离散点阵的完整映射，支持自动计算LGR配置点和微分矩阵。
2. 高精度导数近似：利用拉格朗日插值多项式和微分矩阵，在全域范围内对状态导数进行高精度逼近，显著优于传统的欧拉法或龙格库塔法。
3. 灵活的约束处理：支持对状态变量（位置、速度、质量等）和控制变量（推力等）设置严格的物理边界限制和初末值状态约束。
4. 动态时间优化：将终端时间作为决策变量之一，实现最短时间或最省能量的最优轨迹规划。
5. 系统状态同步监控：内置动态质量消耗模型和空气阻力模型，能够模拟复杂的非线性动力学过程。
6. 可视化输出：自动生成位置、速度、控制指令及质量随时间变化的演化曲线，方便结果分析。

使用方法

1. 环境配置：确保计算机已安装MATLAB及其优化工具箱（Optimization Toolbox）。
2. 执行仿真：在MATLAB命令行窗口运行主程序脚本，系统将自动启动迭代优化。
3. 参数调节：

• 修改参数结构体中的离散点数量（N）以平衡精度与搜索耗时。
• 在约束函数中调整物理模型（如阻力系数、质量衰减率等）。
• 修改目标函数以切换不同的优化目标（如最小能量等）。

1. 结果查看：优化完成后，程序将输出最优终端时间及目标函数值，并自动弹出四幅结果分析图表。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2018a 或更高版本。
• 必备组件：MATLAB Optimization Toolbox（用于调用fmincon求解器）。
• 硬件配置：标准通用计算机，内存建议8GB以上以保证NLP求解速度。

功能实现逻辑详述

整个仿真流程分为以下几个核心阶段：

1. 环境与参数初始化

程序首先定义离散点数量（默认为30个LGR点）、初始状态（位置0, 速度0, 质量0）以及目标状态。通过参数结构体传递推力限制（-2.0至2.0）和时间参数。

1. 伪谱法转录

利用计算模块生成LGR节点、权重及微分矩阵。该方法将时间区间由[t0, tf]映射到[-1, 1)，并在该区间内分布LGR点。微分矩阵D用于将状态变量的微分运算转化为代数矩阵乘法。

1. 决策变量编排

将待优化的变量打包为一个一维向量，顺序包括：

• 状态变量x1、x2、x3在各个离散点的值（共3*(N+1)个点，包含初始点）。
• 控制变量u在各个配置点的值（共N个点）。
• 终端时间tf。

1. 动力学与约束处理

• 边界约束：设定控制变量的上下限，确保质量不为负，并给定tf的最小值。
• 等式约束：包含初值约束、指定的终值目标。
• 动力学代数约束：通过D * X = f * (tf-t0)/2 的形式，将微分方程（x1'=x2; x2'=u/x3-0.1*x2^2; x3'=-0.05*u^2）在所有配置点同步强制满足。

1. 求解与后处理

调用fmincon优化器，采用SQP（序列二次规划）算法进行迭代。求解完成后，利用时间尺度变换公式将[-1, 1]的节点还原为实际秒数，并提取优化后的各状态分量。

关键函数与算法分析

• LGR节点计算逻辑：基于勒让德多项式的伴随矩阵特征值方法，结合迭代修正，生成用于高阶逼近的非均匀分布节点。这种节点分布能有效避免Runge现象，提高收敛性。
• 微分矩阵构建：通过拉格朗日多项式基函数对每个节点处的导数进行解析求导，构造出N x (N+1)维的微分矩阵D，这是伪谱法的核心。
• 目标函数构造：设计为 J = tf + 0.1 * sum(u^2) * (tf/N)。这一指标兼顾了执行时间最短和控制能量消耗最小的权衡。
• 非线性约束映射：在约束函数内部，将提取出的状态向量与微分矩阵相乘，得到离散意义下的变化率，并与物理模型的实时计算结果进行对齐，实现对动力学方程的严格遵循。
• 辅助求导工具：内置了勒让德多项式的递归求导算法以及拉格朗日多项式分母部分的计算逻辑，确保了底层的数学支持不需要依赖外部库。