基于MATLAB的香农信源编码系统实现

资 源 简 介

本项目利用MATLAB环境实现了信息论中经典的香农（Shannon）第一编码定理。其核心功能是针对离散无记忆信源，根据各个信源符号出现的概率分布，自动生成一套满足前缀特性的二进制变长码。 实现过程首先对输入的信源概率进行降序排列，确保高效分配码长；接着计算每个符号的累加概率辅助确定码字前缀；随后依据信息量计算出每个符号所需的最小码长（对其自信息的负对数向上取整）；最后通过将累加概率转换为对应的二进制小数序列并截取相应位长来构造最终的码字。 除了基本的编码功能外，该项目还集成了性能评估模块，能够自动计算信源

详 情 说 明

基于MATLAB的二进制香农（Shannon）信源编码系统

项目介绍

本项目是一个专门用于演示和实现信息论中香农第一编码定理的MATLAB系统。该系统针对离散无记忆信源，能够根据用户输入的概率分布，自动计算并生成一套满足前缀特性的二进制变长码。通过严格遵循香农编码算法步骤，系统不仅实现了从概率到码字的完整转换，还提供了量化的性能指标分析，是理解信息压缩基础理论和信源编码过程的有效工具。

功能特性

1. 自动概率校验与排序：系统能够自动检查输入概率分布的合法性（和为1），并对概率进行降序排列，这是高效分配码长的基础。
2. 核心指标计算：实时计算信源熵（H(X)）、每个符号的自信息量以及根据算法要求的最小理论码长。
3. 变长码字生成：基于累加概率的二进制小数展开算法，生成满足前缀特性的编码序列。
4. 编码性能评估：自动导出平均码长和编码效率，用于衡量编码方案的优劣。
5. 多维度数据展示：结合命令行表格输出与图形化可视化分析，直观展示概率分布、码长分配与自信息量的关系。

使用方法

1. 设置概率分布：在主程序函数的初始化部分，修改概率向量元素。确保所有元素均为正数且总和为1。
2. 运行程序：在MATLAB环境中直接运行主函数。
3. 查看结果：

* 命令行终端：将显示完整的编码对照表（包含符号序号、原始概率、累加概率、分配码长及最终生成的二进制码字），并列出熵、平均码长和效率值。 * 图形窗口：系统会自动弹出两个图表。上方图表展示符号的概率分布趋势，下方图表对比展示实际分配的码长与符号本身携带的自信息量。

系统要求

• MATLAB R2016a 或更高版本。
• 无需额外工具箱，基于MATLAB基础函数库实现。

实现逻辑与原理说明

系统严格按照香农编码的数学步骤构建，具体逻辑如下：

1. 初始化与预处理：首先定义信源概率分布，并设置误差容限检查概率之和是否为1。随后利用排序函数将信源概率按从大到小排列，以便将较短的码字分配给出现概率较高的符号。
2. 数学指标计算：

* 信源熵：利用 $-sum p_i log_2 p_i$ 公式计算信源的平均信息量。 * 码长确定：根据香农第一定理，每个符号的码长 $L_i$ 取其自信息的负对数并向上取整，即 $L = lceil -log_2 p_i rceil$，这保证了码字能够携带足够的信息量。

1. 累加概率构造：计算每个符号之前的概率总和（前 $i-1$ 项之和）作为编码的参考值 $F_i$。这是构造前缀码的关键，防止码字之间产生歧义。
2. 二进制码字构造：这是本系统的核心转换逻辑。系统将每个符号对应的累加概率 $F_i$ 转换为二进制小数。转换过程采用“乘2取整”法，按顺序提取二进制位，直到达到预先计算的码长 $L_i$ 为止。
3. 性能统计：通过计算平均码长（每个符号码长与其概率的加权平均）并与信源熵做比值，得出最终的编码效率。
4. 可视化展示：

* 柱状图展示信源符号的概率分布，直观反映信源特性。 * 阶梯图与散点图结合，展示实际分配码长相较于理论自信息量的冗余情况，验证编码的合理性。

关键算法细节分析

二进制小数转换算法

在生成码字时，系统实现了一个专门的十进制小数转二进制逻辑。它接收一个十进制小数和预设的码字长度作为输入。在循环中，不断将小数乘以2，若结果大于等于1，则该位记为'1'并减去1；若小于1，则该位记为'0'。此过程重复进行，直到提取出的二进制位数满足该符号根据自信息量计算出的码长要求。这种方法确保了生成的二进制序列与累加概率严格对应。

前缀特性保证

通过使用累加概率作为编码起始点，并辅以向上取整的码长限制，本系统生成的二进制码字天然具备前缀性质。这意味着任何一个码字都不会是另一个码字的前缀，从而保证了在解码端的唯一可译性。

性能指标评估

系统输出的编码效率是衡量算法实现的关键。通过计算 $H(X)/L_{avg}$，可以直观观察到香农编码相对于理想熵值的接近程度。同时，通过图形化对比理论自信息量曲线与实际分配码长阶梯。