CurveLab：快速离散曲率波变换工具包

资 源 简 介

本工具包是专门用于实现快速离散曲率波变换（FDCT）的高级数学工具库，是多尺度几何分析的重要里程碑。它支持二维和三维的离散曲率波变换，并提供了两种核心算法路径：基于包裹（Wrapping）技术的变换和基于非均匀快速傅里叶变换（USFFT）的变换。该项目旨在解决传统小波变换在表示图像中具有曲率变化的奇异性（如曲线边缘）时系数不够稀疏的问题。其核心功能包括图像的多尺度定向分解、高效的信号重构、精细的边缘检测与增强、地震探测数据的降噪处理以及在压缩感知框架下的稀疏采样。项目不仅包含了完整的变换函数，还提供了丰富

详 情 说 明

Curvelet 变换工具包 (CurveLab) 演示系统

项目介绍

本项项目是一个基于快速离散曲率波变换（FDCT）的数学工具演示库。它专注于利用包裹（Wrapping）技术实现图像的多尺度、多方向分解。与传统小波变换相比，本工具包在处理图像中的曲线边界、边缘特征时具有更高的稀疏表示效率，能够广泛应用于图像去噪、边缘增强及多尺度几何分析领域。

功能特性

1. 多尺度定向分解：支持将图像分解为不同尺度的频率子带，并在中间尺度进行多角度划分。
2. 高效图像去噪：通过对 Curvelet 系数执行硬阈值过滤，有效分离高频噪声并保留图像边缘。
3. 边缘特征提取：利用多尺度系数的累加实现精细的图像边缘检测与增强。
4. 稀疏性分析：提供系数衰减统计功能，直观展示 Curvelet 变换在表示复杂几何结构时的稀疏特性。
5. 仿真重构分析：实现了从系数空间回到像素空间的反向映射，并提供 PSNR（峰值信噪比）指标评估重构质量。

使用方法

1. 确保您的计算环境中已安装 MATLAB 软件。
2. 将所有相关代码函数放置于同一工作目录下。
3. 在 MATLAB 命令行窗口中直接运行名为 main 的主函数。
4. 系统将自动生成测试图像、执行变换处理，并弹出可视化窗口展示原始图像、含噪图像、去噪结果、各向异性系数、边缘特征及稀疏性曲线。

系统要求

• 软件环境：MATLAB及其图像处理工具箱（Image Processing Toolbox）。
• 计算硬件：标准计算设备即可，支持 256x256 及以上分辨率的实时计算。

实现逻辑与算法细节

#### 1. 核心处理流程 主程序遵循以下标准化信号处理流程：

• 测试数据合成：手动构造包含圆形、斜线、矩形的 256x256 灰度图像，模拟真实的几何特征，并注入 $sigma=0.1$ 的高斯白噪声。
• 前向变换逻辑：通过二级 FFT 将图像转入频率域，依据尺度数量计算各层的方向数（采用每升两层方向数翻倍的各向异性规律）。
• 系数处理：

* 硬阈值去噪：结合噪声标准差与各分量系数的标准差，计算动态阈值。 * 边缘合成：对中间层各方向系数进行双线性插值缩放并累加，形成边缘热力图。

• 反向变换逻辑：通过频率域累加器还原频谱。

#### 2. 关键算法实现

• FDCT Wrapping 前向实现：

* 低频处理：通过矩形窗提取频谱中心区域，执行 IFFT 得到粗尺度系数。 * 中间层处理（模拟包裹）：通过坐标旋转和剪切映射，从主频率矩阵中提取楔形（Wedge）区域。每个楔形代表一个特定的角度特征。 * 高频处理：直接保留频谱残差作为最细尺度分量。

• FDCT Wrapping 反向实现：

* 频率累加：通过逆旋转映射（Unwrapping），将各尺度、各方向的系数重新映射回全局频谱格点。 * 平滑与重建：在反变换过程中应用高斯滤波以减轻块效应，最后通过全局 IFFT 还原空间图像。

• 坐标采样技术：在模拟包裹过程中，利用 meshgrid 生成旋转坐标，并通过 sub2ind 动态提取频率响应，模拟了 Curvelet 变换中复杂的插值过程。

#### 3. 数学支撑工具

• 窗口函数：内置了基于 Meyer 多项式的窗口函数实现，用于生成平滑的频率空间划分权重（虽然在简化版演示中主要以硬划分和高斯滤波辅助展示）。
• 指标评估：严格遵循 MSE（均方误差）和 PSNR 公式进行量化分析，确保去噪性能的可衡量性。

关键函数功能描述

• 前向变换函数：执行底层频率域划分，生成包含各尺度系数的多级细胞数组（Cell Array）。
• 反向变换函数：执行频率域反向映射与累加，完成从变换域到空间域的信号重构。
• 包裹模拟函数：实现楔形频率区域的坐标变换与提取，是体现 Curvelet 各向异性的核心逻辑。
• 解包裹模拟函数：负责将局部各向异性特征还原至全局坐标系。
• 指标计算模块：实时输出重构误差和 PSNR 提升数值，验证算法有效性。