已知一个LTI系统的差分方程为： y[n]

资 源 简 介

已知一个LTI系统的差分方程为： y[n]

详 情 说 明

在分析线性时不变（LTI）系统时，差分方程是描述系统行为的重要工具。本文针对给定的差分方程，重点讲解如何计算系统的零输入响应。零输入响应是指在没有外部输入（即x[n]=0）的情况下，仅由初始条件引起的系统输出。

给定系统的差分方程表明当前输出y[n]与过去两个时刻的输出y[n-1]和y[n-2]相关。计算零输入响应时，我们令输入x[n]及其延迟项均为0，方程简化为齐次方程。首先需要求出该齐次方程的特征根，这可以通过将假设解y[n]=z^n代入方程得到特征多项式。解这个多项式方程可以得到系统的基本模式。

已知初始条件y[-1]和y[-2]，我们可以利用差分方程的递归特性逐步计算后续时刻的响应值。计算过程从n=0开始，需要特别处理初始过渡阶段，因为需要用到"负时刻"的初始条件。随着n的增加，系统的零输入响应通常会表现出由特征根决定的模式，可能是衰减、增长或振荡的行为。

通过这种方法，我们可以完全由初始条件推导出系统的零输入响应，这对于理解系统的固有特性非常重要。零输入响应与零状态响应的叠加构成了系统的全响应，这是分析LTI系统时间域行为的基本方法。