基于有限元法的任意区域热传递数值仿真系统

资 源 简 介

本项目采用MATLAB开发，旨在通过有限元法（FEM）解决高等热传递中的复杂传热学问题。系统能够处理任意几何形状的二维封闭区域，通过Delaunay三角化或四边形映射技术实现非规则区域的网格划分。程序核心计算引擎支持稳态与瞬态热传导分析，全面考虑了各向同性或非均匀材料的热导率性质，并整合了内热源项的数学贡献。在边界条件处理方面，系统实现了Dirichlet边界（给定温度）、Neumann边界（给定热流）以及Robin边界（对流换热）的强弱形式集成，确保物理边界效应在数值模型中得到精确模拟。通过构建全局刚度

详 情 说 明

基于有限元法的任意封闭区域高等热传递数值仿真系统

项目介绍

本项目是一款基于MATLAB开发的高性能二维有限元分析（FEA）数值仿真系统，专注于解决高等热传递领域中的复杂传热问题。系统能够针对任意给定形状的多边形封闭区域，模拟稳态及瞬态过程中的温度场动态演化。通过集成几何离散、物理建模、边界条件强化以及数值求解等模块，该系统为机械结构热分析、电子散热模块设计及建筑热平衡计算提供了可靠的数值手段。

功能特性

1. 复杂几何自适应：系统支持自定义多边形顶点，能够处理L型、异形件等非凸几何区域。
2. 综合热源处理：支持材料内部均匀发热项（内热源）的数学建模与计算。
3. 复合边界条件集成：

* Dirichlet边界：精确约束特定边界上的固定温度。 * Neumann边界：定量模拟外部输入或输出的恒定热流。 * Robin边界：模拟结构表面与环境流体之间的对流换热效应。

1. 瞬态演化模拟：支持基于Theta时间步进方案（如全隐式或Crank-Nicolson）的时间序列仿真。
2. 物理场可视化：动态生成温度场云图、热流密度矢量场以及关键节点的时间-温度曲线。

使用方法

1. 环境准备：运行系统需要安装MATLAB（推荐版本R2018b及更高）。
2. 参数定义：在程序开头设置热导率、比热容、密度等材料物性参数，并定义瞬态步长与总仿真时间。
3. 几何建模：通过修改多边形顶点坐标矩阵定义仿真区域。
4. 网格配置：根据精度需求调整点云生成的步长。
5. 启动计算：运行程序，系统将依次执行网格划分、矩阵组装、稳态/瞬态迭代求解以及最终的可视化分析。

系统要求

• 软件环境：MATLAB (2016b 及以上版本)。
• 硬件资源：无需特殊图形卡，常规CPU即可胜任数千节点的快速计算。

实现逻辑与算法细节

本系统的核心逻辑基于有限元法（FEM）的标准流程构建，具体实现细节如下：

1. 任意区域离散化算法：

程序首先在多边形包围盒内生成规则的底层点云，通过射线交叉判断算法（Ray-Casting Algorithm）筛选出位于区域内的点。随后结合边界顶点，调用Delaunay三角化算法生成原始网格。针对非凸区域，系统通过计算单元质心位置，剔除位于多边形边界外的无效单元，从而确保计算域与几何定义的精准重合。

1. 单元矩阵计算：

针对线性三角形单元（T3），系统实现了以下数值积分过程：

• 刚度矩阵（Ke）：基于温度梯度算子（B矩阵）构建，反映材料的热传导性能。
• 质量矩阵（Me）：采用一致质量矩阵（Consistent Mass Matrix）形式，捕获瞬态过程中的热惯性特征。
• 载荷向量（Fe）：将体源项等效分配至单元节点。

1. 全局组装与约束处理：

• 稀疏矩阵存储：利用MATLAB的sparse格式存储全局矩阵，极大优化了大自由度下的内存消耗和计算性能。
• 边界处理：程序采用罚函数法（Penalty Method）处理Dirichlet边界条件，在保持全局矩阵结构对称性的同时，确保强边界条件的精确满足。

1. 瞬态求解架构：

系统实现了广义Theta时间步进法。全隐式格式（Theta=1.0）确保了即使在大步长下也具有无条件的数值稳定性。在每个时间步中，程序动态更新右端项（RHS），反映上一时刻温度场对当前温度分布的影响。

1. 后处理与物理量提取：

• 热流矢量（Heat Flux）：系统实现了基于形函数求导的梯度提取算法，将单元内部的高斯点热流投影回节点，从而获得全域热流分布矢量 $q = -knabla T$。
• 能量残差分析：通过对比全局流体平衡方程的左右两端，计算每个节点的平衡残差，作为评估仿真结果收敛性的标准。

核心函数功能说明

• 网格生成逻辑：通过内部点筛选机制解决任意形状的覆盖问题。
• 边界边识别：基于拓扑相邻信息，统计每条边的引用次数，将仅被引用的边自动识别为物理边界，并根据空间坐标自动分类。
• 热流计算函数：遍历所有单元，利用单元几何常数（be, ce）计算温度梯度，并对重合节点的矢量值进行面积加权平均处理。
• 包含判定子程序：通过逻辑掩码处理，高效完成数万个坐标点与多边形边的空间位置判定。