基追踪BP稀疏信号重构系统

资 源 简 介

本项目完整实现了基于压缩感知理论的基追踪稀疏重构算法。程序核心流程包含信号生成、稀疏化处理、压缩观测以及数值重构四个阶段。首先，系统生成具有特定稀疏性质的原始一维信号，或将时域信号通过离散余弦变换（DCT）等基矩阵转化为稀疏表达形式。在观测阶段，利用构造的随机高斯矩阵或伯努利矩阵作为测量矩阵，将高维原始信号投影到低维空间，实现信息的压缩采集。在最重要的重构阶段，系统将稀疏信号的恢复转化为一个受线性约束的L1范数最小化优化问题，通过调用MATLAB内置的线性规划求解器（linprog）或内点法进行大规模凸优

详 情 说 明

基追踪（Basis Pursuit, BP）稀疏信号重构系统

项目介绍

本项目是一个基于压缩感知（Compressed Sensing, CS）理论的信号处理演示系统，核心目标是验证基追踪（Basis Pursuit）算法在稀疏信号重构中的有效性。系统通过数学建模将信号恢复问题转化为一个受线性约束的 L1 范数最小化问题，并利用优化工具解决欠采样恢复难题。该系统可以展示如何从远低于采样定理要求的观测数据中，高精度地还原原始信号。

功能特性

• 全流程仿真：涵盖了从稀疏信号生成、正交基构造、压缩观测到数值重构的全生命周期处理过程。
• 数学驱动的重构：采用标准的基追踪数学模型，将非线性的 L1 最小化问题转化为线性规划问题求解。
• 性能量化评估：系统自动计算均方误差 (MSE)、运行耗时以及原始信号与重构信号的相关系数。
• 多维度可视化：提供稀疏域系数对比、时域波形重建对比、重建残差分析以及测量矩阵热图展示。
• 可复现性：通过固定随机数种子，确保不同运行环境下实验结果的一致性。

系统逻辑与功能实现

系统按照压缩感知的核心步骤依次执行以下功能：

1. 信号稀疏化表达与生成

• 系统预设了原始信号长度（256点）、压缩后的观测维度（100点）以及信号的稀疏度（20个非零系数）。
• 手动构造离散余弦变换（DCT）基矩阵，作为信号的稀疏表示空间。
• 在稀疏域随机生成具有高斯分布特性的非零系数，通过 DCT 逆变换生成时域原始信号。

2. 压缩观测过程

• 构造高斯随机测量矩阵，该矩阵满足压缩感知中的限制等距性质（RIP），确保信息在降维过程中不被丢失。
• 将高维的时域信号投影到低维空间，获得观测向量，模拟实际硬件中的压缩采样过程。

3. 基追踪重构核心

• 将重构问题定义为：在满足线性观测约束的前提下，寻找 L1 范数最小的稀疏系数。
• 逻辑实现上，利用变量替换法将 L1 问题转化为线性规划（Linear Programming）标准形式。通过引入两个非负辅助变量，将原始变量拆分为正部和负部。
• 构建目标函数系数向量、等式约束矩阵（包含观测矩阵与稀疏基的乘积）以及变量下界。

4. 结果验证与可视化

• 调用内点法优化算法进行大规模计算，获取重构后的稀疏系数。
• 通过稀疏基将系数还原回时域信号。
• 自动生成图表，对比原始与重构信号的差异，展现算法在低观测维数下的稳健性能。

关键算法与实现细节

• DCT 矩阵构造：系统通过两层循环严格按照离散余弦变换定义构造正交基矩阵，避免了对外部特定工具箱的依赖。
• L1 范数转化为线性规划：

* 目标函数：为了最小化稀疏系数的绝对值之和，系统构造了一个长度为原始信号两倍的优化向量，其目标函数系数全为 1。 * 约束处理：通过拼接测量矩阵与测量矩阵的负值，构造了等式约束矩阵 Aeq，使得重构模型符合线性规划求解器的输入规范。

• 优化求解器应用：利用内置的 linprog 函数，并指定 interior-point（内点法）算法，在大规模稀疏恢复任务中提供较好的收敛性和计算速度。
• 精度评价指标：除了直观的波形图，系统通过 MSE 和相关系数两个维度定量分析重构精度，验证算法是否达到“完美重构”的标准。

使用方法

1. 启动 MATLAB 环境。
2. 将包含系统脚本的文件夹设置为当前工作路径。
3. 直接运行主程序脚本。
4. 程序运行完成后，命令行窗口将输出信号统计参数、误差结果及运行耗时。
5. 系统会自动弹出可视化图形窗口，展示重构效果的各项指标对比图。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 必备工具箱：需要安装 Optimization Toolbox（用于调用 linprog 函数）。
• 硬件要求：标准桌面或笔记本电脑即可，内存建议 4GB 以上以确保矩阵运算的流畅性。