基于内插公式的信号抽样与重构仿真系统

资 源 简 介

本项目利用MATLAB环境模拟连续信号的离散化抽样过程及其基于内插公式的还原过程。项目核心功能是验证奈奎斯特抽样定理，通过在时域对模拟信号进行等间隔取样，获取离散时间序列。重构阶段采用理论上的理想低通滤波方法，即Whittaker-Shannon插值公式（内插公式）。系统通过将每一时刻的抽样脉冲与对应的Sinc函数进行卷积叠加，在连续时间轴上重新构建信号。通过对比原始连续信号、抽样后的离散信号以及利用内插公式还原后的重构信号，用户可以直观地观察到当抽样频率满足奈奎斯特准则时，信号能够被无失真还原；而当抽样

详 情 说 明

基于内插公式的信号抽样与重构仿真系统

项目介绍

本系统是一个基于MATLAB开发的数字信号处理仿真工具，旨在通过数学建模和可视化手段演示连续信号的离散化抽样及其恢复过程。系统核心围绕奈奎斯特（Nyquist-Shannon）抽样定理展开，利用Whittaker-Shannon内插公式对抽样后的离散序列进行理想低通滤波重构。通过对比不同抽样频率下的重构效果，用户可以直观理解频谱混叠现象以及无失真还原信号的物理条件。

主要功能特性

1. 多频率信号合成：系统能够构造由不同频率成分组成的复合连续信号，作为原始处理对象。
2. 双场景对比仿真：自动对比满足奈奎斯特准则（高采样率）与不满足准则（欠采样/频谱混叠）两种情况下的信号还原差异。
3. 理想内插重构：采用基于Sinc函数的理论最优插值算法，将离散抽样点还原为连续时间信号。
4. 频域特性分析：具备信号频谱分析功能，展示从连续谱到离散周期谱的演变过程。
5. 定量误差评价：通过计算重构信号与原始信号之间的均方根误差（RMSE），从数值角度评估还原精度。

系统运行环境

• 软件要求：MATLAB R2016b 及以上版本。
• 硬件要求：通用计算机即可，具备基础图形显示输出能力。

实现逻辑说明

系统的核心逻辑在入口函数中按以下流程执行：

1. 参数初始化：定义原始信号的两个主要频率（5Hz和12Hz），并确定系统的模拟连续时间步长（1000Hz采样率）和仿真总时长（1秒）。
2. 构建原始信号：生成一个包含双频成分的模拟连续信号。
3. 抽样决策：依据信号最高频率计算奈奎斯特频率（24Hz），并分别设定两个对比采样频率：30Hz（满足定理）和15Hz（发生混叠）。
4. 采样与内插计算：

- 提取离散抽样点。 - 定义高密度的重构时间轴。 - 执行Sinc矩阵内插运算。

1. 误差计算：为了公平对比，将重构信号与原始信号在相同的时间尺度下进行线性插值对齐，并计算两者间的RMSE。
2. 可视化输出：生成多维度的图形窗口，包括时域波形对比图、幅度谱分布图以及误差条形图。
3. 文本报告：在命令行窗口打印详细的频率参数、采样频率及对应的重构误差数值。

关键算法与实现细节

1. Whittaker-Shannon 内插算法

系统没有使用简单的线性插值，而是实现了理论上的理想内插公式。在代码中，通过建立“重构时间点”与“抽样时刻点”的网格矩阵（meshgrid），实现批量的Sinc函数计算。每一时刻的还原值等于所有抽样脉冲与其对应Sinc偏移函数的加权叠加。这一过程在数学上等效于离散序列通过一个理想低通滤波器。

1. 抽样值提取

为了模拟从连续信号中获取离散值，系统利用最近邻插值法在预设的采样时刻点从模拟连续信号中锁定振幅，从而获得离散序列。

1. 高分辨率频谱分析

频谱分析部分采用了快速傅里叶变换（FFT）。为了获得更平滑、分辨率更高的频谱显示，系统通过 nextpow2 函数对信号进行了8倍长度的补零处理，并利用 fftshift 函数将零频分量平移至频谱中心，方便观察信号的真实频率分布。

1. 矩阵化运算优化

在重构函数内部，系统避免了低效的循环嵌套，转而采用矩阵相乘的方式处理 Sinc 矩阵与抽样向量。这种处理方式充分利用了 MATLAB 的矩阵运算优势，大幅提升了在时间轴点数较多时的计算效率。

1. 误差评估逻辑

由于重构时间轴与原始模拟连续时间轴的点数可能不一致，系统引入了线性插值重采样步骤。在计算 RMSE 之前，先将原始连续信号映射到重构信号的时间点上，确保了误差评价在同一时间基准下进行，保证了结果的严谨性。

使用方法

1. 启动 MATLAB 软件。
2. 将项目相关的脚本文件放置在当前工作路径下。
3. 在命令行窗口直接输入主程序名称并回车。
4. 系统将自动弹出图表窗口，展示两种采样率下的时域重构对比、频域周期延拓现象以及误差分析图表。
5. 观察命令行输出的仿真结果报告，确认不同场景下的量化性能表现。