灰色系统理论六大典型计算模型库

资 源 简 介

本项目针对灰色系统理论中的核心预测与分析需求，开发并封装了六个具有代表性的MATLAB软件模块，包括基础的GM(1,1)预测模型、考虑多因素影响的GM(1,N)模型、适用于S型动态过程的灰色Verhulst模型、离散灰色模型DGM(1,1)、具备动态更新机制的新陈代谢GM(1,1)模型以及用于精度提升的残差修正模型。 各模块代码实现过程严谨，涵盖了从原始序列的累加生成、背景值构造、基于最小二乘法的参数估计到最终模型白化方程还原的全流程计算。 为了提高模型的可靠性和实用性，代码中特别加入了完善的误差分析功能

详 情 说 明

灰色系统理论六大典型模型MATLAB函数库

项目介绍

本项目是一个专门针对灰色系统理论开发的MATLAB函数工具库，旨在为科研人员、工程技术人员及学生提供一套完整、严谨且易用的预测分析工具。灰色系统理论通过对“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本、贫信息”系统进行建模，能够从杂乱无章的原始数据中寻找内在规律。

本项目封装了六种最常用的灰色预测模型，涵盖了从单变量线性预测到多变量关联分析，再到非线性S型生长曲线预测及动态更新预测等全方位需求。所有模型均遵循标准的灰色建模流程：原始序列的一次累加生成（1-AGO）、均值生成背景值、构造数据矩阵、利用最小二乘法进行参数估计、解算白化方程式还原序列，并最终输出预测结果与精度评价。

功能特性

1. 模块化设计：六大模型相互独立，采用纯函数化编程，代码结构紧凑，注释详尽。
2. 自动化精度评估：内置完善的误差分析模块，自动计算平均相对误差、后验差比值（C值）和小误差概率（P值），并给出相应的精度评价等级。
3. 动态数据预测：支持固定长度序列预测与基于“新陈代谢”机制的动态更新预测，适应不同时间跨度的需求。
4. 综合可视化：程序能够自动生成对比图表，直观展示各模型在拟合阶段与预测阶段的性能差异。
5. 适用场景广泛：适用于变形监测、灾害预警、经济发展趋势分析及数学建模比赛等多个领域。

系统要求

1. 软件环境：MATLAB R2016b 及以上版本（需具备基础算术运算与绘图功能）。
2. 硬件环境：通用办公计算机即可。
3. 数据要求：原始数据应为非负序列，且样本量建议在4个及以上，以确保建模精度。

核心功能与实现逻辑

本项目的主程序集成了数据准备、模型调用、误差校验与结果绘图四大逻辑板块。

1. 基础GM(1,1)预测模型：

该模型是灰色系统的核心，适用于具有指数增长趋势的序列。其逻辑是先对原始序列进行一次累加以弱化随机性，通过邻值生成法构建背景值矩阵。利用最小二乘法求解辨识参数（发展系数与灰色作用量），最后通过响应函数及其还原式获取拟合值与预测值。

1. 多因素GM(1,N)模型：

该模型用于分析多个解释变量对一个受控变量的影响。实现逻辑是将多个相关因素的累加序列提取出来，作为数据矩阵的列向量，通过最小二乘法确定各因素对系统发展的贡献率。该模型侧重于静态关联分析及在此基础上的趋势延拓。

1. 灰色Verhulst模型：

针对具有饱和状态或呈S型增长趋势的非线性动力系统（如人口增长或建筑物沉降后期）。其核心逻辑是在背景值构造中引入二次项，将白化方程转化为伯努利方程，从而能够准确描述由于资源或空间限制导致的系统增长放缓过程。

1. 离散灰色模型DGM(1,1)：

与经典的连续形式不同，该模型直接对累加生成的离散序列建立差分方程。其优点是消除了由于微分方程近似代替差分方程所产生的结构性误差，在处理非等间距或小样本数据时具有更高的数学严密性。

1. 新陈代谢GM(1,1)模型：

这是一种具备动态更新机制的改进模型。其逻辑是每预测出一个新数据，就将其加入原始序列末尾，同时剔除序列开头的最老数据，始终保持建模序列的长度不变。这种方法能够实时捕捉系统的最新演变趋势，有效解决了长期预测精度下降的问题。

1. 残差修正GM(1,1)模型：

该模型旨在进一步提升预测精度。实现逻辑是首先建立一个基础的GM(1,1)模型，提取其拟合阶段的残差序列（原始值与拟合值的差）。随后对残差序列再次建立灰色模型，并将残差预测值反馈到主模型的预测结果中，形成叠加效应，从而修正主模型的固有偏差。

关键函数与算法细节分析

1. 最小二乘估计（Least Squares Estimation）：

所有模型均通过构造数据矩阵 B 和结果向量 Y，利用 MATLAB 的左除算子执行 (B' * B) (B' * Y) 操作。这是获取灰色参数 a 和 b 的关键算法，保证了模型在统计意义上的全局最优。

1. 累加生成还原逻辑：

代码严格执行从 1-AGO 到预测值还原的数学转换。对于大多数模型，采用的是响应函数公式法；而对于 DGM 和 GM(1,N)，则采用了差分法进行数据还原。

1. 误差检验算法：

analyze_error 函数实现了多维度的精度判定。 平均相对误差：衡量预测值偏离真实值的百分比。 后验差比值（C值）：反映残差分布的离散程度相对于原始数据离散程度的比率，C值越小说明精度越高。 小误差概率（P值）：统计残差落在特定范围内的频率，P值越大说明预测稳定性越好。

1. 可视化架构：

绘图逻辑采用 subplot双层布局。上方图表集中于历史数据的“拟合对比”，用于观察模型对已知数据的捕捉能力；下方图表聚焦于“未来预测对比”，展示各算法对外推步长的灵敏度差异。

使用方法

1. 打开 MATLAB 并将工作目录切换至本项目文件夹。
2. 准备数据：在主程序的“模拟数据准备”部分，根据实际需求修改原始序列 X0（1D行向量）或多因素矩阵 X_rel（第一列为因变量，后续列为自变量）。
3. 设置预测步长：根据需要预测的时间跨度修改 predict_step 变量。
4. 运行程序：直接点击运行按钮或在命令行窗口键入主程序函数名。
5. 获取结果：程序将在命令行窗口依次输出各模型的误差分析报告及其精度等级（优、良、及格或不合格），并同步弹出对比图表，展示各模型在不同阶段的运行表现。